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9. Fonctions convexes

9.1 Plan du cours

  1. Ensembles convexes.

    1. Convexes de cut affine. Convexes de cut.
    2. Propriété des milieux pour un fermé.

  2. Fonctions convexes (sur un intervalle ouvert non vide)

    1. Définition par la convexité de l'épigraphe.
    2. Lemme des trois pentes.
    3. Caractérisation par la propriété sous barycentrique, par la propriété des cordes.
    4. Caractérisation par la croissance de chaque TVM.

  3. Propriétés

    1. Une convexe est (définie sur un ouvert et est) continue.
    2. Existence des dérivées unilatérales.
    3. Droites d'appui, cône d'appui, inégalités.
    4. Caractérisation parmi les continues, parmi les dérivables, parmi les 2 fois dérivables.

  4. Inégalités de convexité

    1. Comparaison des moyennes usuelles.
    2. Hölder cut, Minkowski cut.

  5. Fonctions continues convexes sur un segment

    1. Existence d'un minimum
    2. Algorithme des trois moitiés.

9.2 Exercices élémentaires

  1. Déterminer les intervalles de convexité des polynômes
    cut ; cut ; cut
    cut ; cut ; cut
  2. Mener toutes les tangentes possibles issues du point cut aux courbes cut de 9.2.1.

9.3 Exercices

  1. Une application cut convexe majorée est constante.
  2. On suppose f et g convexes cut. Examiner la convexité de cut.
  3. Soit cut croissante convexe non constante. Étudier cut.
  4. On suppose cut convexe. Que dire de f ? Réciproque ?
  5. Pour 0<a<b on a cut. Généraliser ?
  6. Montrer que cut. Que peut-on dire de plus précis ?
  7. Pour tous cut, montrer que cut.
  8. Soit cutune fonction convexe. Que peut-on dire de cut et de cut ?
  9. Pour cut et 0<t<1 on a cut.
  10. Soient 0<a<b et cut. Montrer l'équivalence entre la convexité de cut et celle de cut.
  11. Soit cut une fonction convexe. Montrer que cut admet une limite cut en cut. Dans le cas cut, montrer que cut admet à son tour une limite cut.
  12. Soit cut une fonction continue, vérifiant cut. Montrer que f est convexe.
  13. Que peut-on dire de la fonction réciproque d'une fonction bijective ayant une convexité déterminée ?
  14. Soit cut une fonction concave. Montrer que cut.
  15. Soit cut une famille de fonctions convexes sur le même intervalle I. On pose cut et on suppose que cut. Montrer que g est convexe.
  16. On suppose f de Rolle sur cut et que pour tout couple cut tel que cut, il existe une seule abscisse de Rolle, i.e. un et un seul cut tel que cut. Montrer que f est soit concave soit convexe.
  17. Soient cut et cut deux familles de n nombres strictement positifs, vérifiant cut. Vérifier que cut. En déduire cut.
  18. Montrer, pour cut et cut, cut.
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douillet@cnam.fr
2001-03-11