10. Polynômes et fonctions polynomiales

10.1 Plan du cours

1. Polynômes formels
   1. Polynômes formels, expressions polynomiales, fonctions polynômes.
   2. L'anneau A des coefficients est intègre.  Les seuls cas envisagés sont ou (polynômes à une variable sur un corps) ou bien (polynômes à deux variables sur un corps).
   3. Un polynôme (formel) est une suite presque nulle de coefficients.

2. Opérations sur les polynômes
   1. Somme, produit par un nombre, produit de Cauchy.
   2. Définition générale d'une -algèbre.
   3. Degré et valuation. En particulier , . Si alors, .
   4. Degré et valuation : inégalités pour la somme, égalités pour le produit. Coefficient dominant.
   5. Évaluation d'un polynôme en un point d'une -algèbre. C'est un morphisme d'algèbre. Exemples : évaluation numérique, composition des polynômes, fonctions polynomiales, polynômes matriciels.

10.2 Exercices élémentaires

1. Évaluer les polynômes , , , , pour les valeurs X=2, X=Y²+1, , , .
2. Soient . On pose . Vérifier sur des exemples que les racines de P' appartiennent à la surface triangulaire dont sont les sommets.

10.3 Exercices

1. Montrer que les polynômes pairs sont les polynômes en X². Caractériser les polynômes impairs.
2. Soient . Condition nécessaire et suffisante pour que les polynômes et aient une racine commune sur .
3. Soient . Condition pour que et aient une racine commune.
4. Déterminer les polynômes ayant pour racines les inverses des racines d'un polynôme donné.
5. Quels sont les polynômes tels que ?
6. Quels sont les polynômes tels que .
7. On se donne un polynôme . Former le polynôme P₁ ayant pour racines les carrés des racines de P₀ (van Graeffe). On itère le processus. Que se passe-t-il ? Prendre pour exemple .
8. Pour toute matrice il existe un polynôme tel que .