11. Polynômes à une variable sur

11.1 Plan du cours

1. Polynômes à une variable sur ou sur .
   1. Structure de . Prototype des -espaces vectoriels.
   2. Division euclidienne dans : existence, unicité du quotient et du reste.
   3. Définition du pgcd. Algorithme d'Euclide.
   4. Coefficients de Bezout. Algorithme de Bezout. Formulation matricielle.
   5. Divisibilité, polynômes associés, représentant unitaire.

2. Dérivation formelle dans
   1. Écriture factorielle de la dérivée k-ième de Xⁿ.
   2. Binôme de Newton et triangle de Pascal.
   3. Théorème de Taylor pour les polynômes.
   4. Lien entre équation différentielle et récurrence sur les coefficients.

3. Racines d'un polynôme
   1. Racines, racines multiples, caractérisation
   2. Théorème de d'Alembert : possède exactement racines.
   3. Somme et produit des racines.
   4. Prolongement des identités (pour deux polynômes !)

11.2 Exercices élémentaires

1. Calculer le pgcd et les coefficients de Bezout pour les polynômes
   ;
   ;
   ;

11.3 Exercices

1. Quels sont les polynômes non constants divisibles par leur dérivée ?
2. Soient . Condition pour que et aient une racine commune. En déduire une condition pour que les racines de P soient réelles.
3. Déterminer les polynômes ayant pour racines les images des racines d'un polynôme donné par .
4. Pour tout polynôme , divise .
5. Quels sont les polynômes tels que . Examiner la multiplicité des racines.
6. Montrer que est caractérisé par n+1 évaluations en des points distincts (Lagrange).
7. Déterminer les polynômes tels que , , (pour distincts).
8. Même question pour , , (pour distincts).
9. Pour fixé, il existe un et un seul polynôme tel que . On le note E_n (Euler). Donner une relation entre E_n' et E_n-1, le développement de Taylor de et une relation de récurrence entre les E_n. Expliciter E_n pour .
10. On se donne un polynôme . Former le polynôme P₁ ayant pour racines les carrés des racines de P₀ (van Graeffe). On itère le processus. Que se passe-t-il lorsqu'il y a des racines complexes conjuguées? Prendre pour exemple .
11. Soit . On pose (Newton). On suppose que a est une racine simple de P. Que vaut ? Utilité ? Que faire si a est une racine multiple ?
12. Résoudre l'équation x⁵-1=0 en faisant apparaître . Interprétation géométrique ?
13. Même question avec x⁷-1=0. Utiliser l'algorithme de Newton (cf supra) pour résoudre en y.
14. Pour toute matrice il existe un polynôme tel que .
15. Pgcd des polynômes de Chebyschev T₃ et T₂. Coefficients de Bezout ?
16. Redémontrer l'existence d'un polynôme T_n tel que . Calculer par deux méthodes différentes la dérivée seconde de . En déduire une relation de récurrence entre les coefficients d'un polynôme T_n.
17. Même question pour .
18. Soient . On pose . Montrer que les racines de P' appartiennent à la surface triangulaire dont sont les sommets.