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12. Théorie de l'intégration (Riemann)

12.1 Plan du cours

  1. Intégrale de Darboux d'une fonction bornée cut

    1. Subdivisions, subdivision plus fine
    2. Sommes inférieures et sommes supérieures
    3. Intégrale inférieure et intégrale supérieure
    4. Propriétés d'encadrement
    5. Fonctions Darboux-intégrables.

  2. Lignes brisées et formule des trapèzes

    1. Subdivision adaptée et formule des trapèzes pour une ligne brisée
    2. Convergence uniforme d'une suite de fonctions.
    3. Limite uniforme d'une suite de fonctions continues.
    4. Théorème de Heine, intégrale d'une fonction continue

  3. Escaliers et formule des rectangles

    1. Subdivisions adaptées et formule des rectangles pour une fonction en escalier
    2. Intégrale d'une continue par morceaux, d'une monotone

  4. Propriétés usuelles de l'intégrale

    1. Linéarité de l'intégrale
    2. Positivité, encadrements, valeur moyenne.
    3. Relation de Chasles.
    4. Relation de Schwarz.
    5. Sur cut, l'application cut est un produit scalaire.
    6. Intégration par parties (pour f' et g' continues).

  5. Intégrale de Riemann d'une fonction cut

    les propriétés sont admises, sur le modèle de l'intégrale de Darboux.

    1. Subdivisions pointées, sommes de Riemann.
    2. Fonctions Riemann-intégrables.
    3. Changement de variable dans une intégrale.

  6. Formule de Taylor avec reste intégral

12.2 Exercices élémentaires

  1. (rappel) linéariser : cut. Déterminer une primitive par deux méthodes différentes.
  2. (rappel) linéariser : cut. Déterminer une primitive par deux méthodes différentes.
  3. Linéariser cut.
  4. Examiner sur des exemples les résultats demandés aux exercices 9 à 13.

12.3 Exercices

  1. Limite de cut.
  2. Limite de cut.
  3. Limite, pour cut et p fixé, de cut.
  4. Valeur exacte et limite pour cut de cut. De même cut.
  5. Valeur exacte et limite pour cut de cut. De même cut.
  6. Limite, pour cut, de cut.
  7. Limite, pour cut, de cut.
  8. Limite, pour cut, de cut.
  9. Soit f une bijection continue croissante entre cut et cut et g sa bijection réciproque. Montrer que cut, et que pour tous cut et cut on a cut.
  10. Soient cut, cut une application décroissante cut, et f une application continue sur S. Examiner l'existence d'un cut tel que cut.
  11. Soit f de classe C1 sur cut et telle que cut. Montrer que cut.
  12. Soit cut et cut. On pose cut. Que peut on dire de cut lorsque (respectivement) f est croissante, admet un facteur de Lipschitz, est de classe C1, est de classe C2. Dans ce dernier cas, montrer que l'on a cut, pour des constantes cut et cut à déterminer. Quelle méthode d'accélération des calculs peut-on en déduire ?
  13. Soit cut. On définit cut par cut. Montrer que l'on a toujours cut. Quels sont les cas d'égalité ? Pour chaque cut cut, déterminer une fonction f telle que cut.
  14. Montrer qu'il existe deux constantes cut et cut telles que cut pour tout cut. Que peut-on en déduire pour cut ?
  15. Intégrales de Wallis : cut.
  16. Intégrales cut.
  17. Soient cut et cut. On détermine f0 par cut avec cut défini par cut. On construit par récurrence fn+1 primitive de fn telle que cut. Déterminer les fn pour cut. Déterminer la forme générale de ces fonctions.
  18. Soit cut une suite à valeurs dans cut. Pour un couple cut tel que cut, on définit cut. On suppose que la suite cut a la propriété que cut pour tout couple cut. Montrer que l'on a alors cut ... pour une certaine classe de fonctions f que l'on précisera (algorithme de Monte-Carlo).
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douillet@cnam.fr
2001-03-11