14. Développements limités

14.1 Plan du cours

1. Symboles de Landau, dev limités, dev asymptotiques
2. Somme de DL
3. Produits et quotients de DA
4. Composition (avec les bonnes hypothèses)
5. On ne dérive pas
6. Primitivation d'un DL
7. Fonctions usuelles
8. DL de la solution d'une équation différentielle (existence-unicité supposées)

14.2 Exercices

14.2.1 Exercices élémentaires

1. Illustrer les différents points du cours avec la fonction .

14.2.2 Au voisinage de .

1. Développer à l'ordre 5 .
2. Développer , de à l'ordre 4.
3. Développer de
4. On veut le développement limité de . Commencer par déterminer l'ordre de cette fonction en 0. On constate que ce développement est ``creux'' : quels sont les termes non nuls ?
5. Développer et par rapport à z (ordre 4).
6. Développer (ordre 4).
7. Développer de (ordre 6).
8. Limite, pour , de , de
9. Développer la solution de , de , de
10. Développement de , , , . En déduire le développement de .
11. Développer à l'ordre 4.
12. Développer , et .
13. Donner les deux premiers termes des développements de , et de . Tracé des courbes correspondantes.
14. Développer à l'ordre 3.
15. Formule donnant le développement de (pour ). En déduire les développements de , , , , .
16. Développer , , .
17. Développer , .
18. Développer à l'ordre 4.
19. Développement de
20. Limites en x=0 de , de , de , de , de , de .
21. f est au voisinage de 0. Que dire de selon la valeur du premier entier n tel que .
22. Développer .
23. Limite de .
24. Soit . Développement de au voisinage de z=0. Généralisation ?

14.2.3 Ailleurs

1. Développer, en x=0,
2. Développer, en x=2, .
3. Limite, pour , de

14.2.4 A l'infini

1. Développement asymptotique de , de .
2. Montrer que, pour tout x>0, En déduire le développement de au voisinage de .
3. Comportement à l'infini de .
4. Développement, pour , de .
5. Limite de .
6. Limite de
7. Développer .