15. Espaces vectoriels

15.1 Plan du cours

1. Structure d'espace vectoriel
   1. Définition : corps, groupe commutatif, propriétés du produit par un nombre.
   2. Exemples : , , suites,
   3. Combinaisons linéaires
   4. Morphismes d'espaces vectoriels = applications linéaires

2. Sous espaces
   1. Définition
   2. Caractérisation par non vide et stable par combinaisons linéaires
   3. Intersection
   4. Sous-espace engendré par une partie. Caractérisation de par les combinaisons linéaires.
   5. Somme de deux sous espaces
   6. Définition d'une somme directe (interne)

3. Structure des applications linéaires
   1. est un espace vectoriel
   2. Image directe d'un sous espace de E, image réciproque d'un sous espace de F.
   3. Noyau et injectivité, image et surjectivité.
   4. La composée est linéaire
   5. est une -algèbre

4. Projecteurs
   1. Projecteurs associés à une somme directe
   2. Caractérisation par
   3. Symétries
   4. Caractérisation par

15.2 Exercices

1. Si p est un projecteur, et si et sont stables par , alors
2. Pour un endomorphisme équivaut à .
3. Dans , on pose . Pour , on définit . Vérifier que p_g est un projecteur. Quelle est son image ? Conditions sur pour que p_f+p_g soit aussi un projecteur.
4. On reprend l'exercice précédent en se limitant à . Donner le noyau de chacun des projecteurs associés aux polynômes .
5. Image et noyau de .
6. Même question pour .
7. Quel est le sous espace engendré par la famille . De même avec .
8. Quels sont les cas où la réunion de deux sous-espaces est également un sous-espace vectoriel ?
9. Montrer que dans l'espace vectoriel E des fonctions , les ensembles P et I formés respectivement des fonctions paires et impaires forment deux sous-espaces vectoriels supplémentaires.
10. Soient quatre sous-espaces vectoriels de E tels que . On suppose que et . Montrer que A=C et B=D.
11. Soient qui commutent. Montrer que et sont stables par g.
12. Lorsque p et q sont deux projecteurs, p+q est un projecteur si et seulement si .
13. Soient p et q deux projecteurs de E. Montrer que si et seulement si et .
14. Soit p un projecteur non nul de E. Montrer que est injectif si et seulement si .
15. Soient trois espaces vectoriels sur , et . Montrer que si et seulement si . Et que si et seulement si .
16. Soit qui commute avec tout . Montrer que f est de la forme , avec .