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16. Espaces vectoriels à génération finie

16.1 Plan du cours

  1. Théorème du rang

    1. Relation de liaison, famille liée, famille libre.
    2. n+1 combinaisons linéaires de n vecteurs sont toujours liées.
    3. Preuve par pivot de Gauss
    4. Calcul effectif d'une relation de liaison lorsqu'il en existe une.

  2. Dimension

    1. De toute famille génératrice on peut extraire une base
    2. Toutes les bases ont le même cardinal
    3. Toute famille libre peut être complétée en une base
    4. cut : par combinaisons linéaires, le rang n'augmente pas

  3. Rang d'une application linéaire

    1. cut
    2. Formes linéaires. cut. Applications coordonnées.
    3. cut
    4. Une application linéaire se caractérise par l'image d'une base.
    5. Écriture matricielle d'une application linéaire

16.2 Exercices élémentaires

  1. Soit F l'espace vectoriel de toutes les fonctions cut. Déterminer quels sont les sous-espaces vectoriels parmi les sous ensembles suivants :

    cut cut cut cut cut cut.

  2. Dans cut, montrer que les familles suivantes sont liées :

    1. cut, cut, cut.
    2. cut, cut, cut.
    3. cut, cut , cut.
  3. Déterminer une relation de liaison entre les lignes des matrices suivantes :

    cut, cut, cut

    cut
    cut
    cut

16.3 Exercices

  1. Soit E un cutespace vectoriel, et cut tel que cut. On considère cut et cut. Montrer que l'on a cut.
  2. Soient cut et cut avec cut. Montrer que cut.
  3. Soit cut. Montrer que u est injective si et seulement si pour tous sous-espaces vectoriels F et G en somme directe, alors u(F) et u(G) sont en somme directe.
  4. Soit cut. Montrer que cut si et seulement si la restriction de f à cut est un automorphisme de cut.
  5. Soient cut trois espace vectoriels, et cut. On définit cut de cut vers cut par cut. Montrer que cut est linéaire. Que peut-on dire de cut lorsque g est injective ?
  6. Soit E un cut espace vectoriel, et soit cut tel que f3=I. Montrer que cut en posant cut.
  7. Soient cut et cut premiers entre eux. Montrer que cut.
  8. Peut-on déterminer x et y dans cut tels que le vecteur cut appartienne au sous-espace vectoriel de cut engendré par cut et cut ? Même question avec cut, cut et cut.
  9. Soit cut avec cut. Montrer que la famille cut est une famille libre.
  10. Dans l'espace vectoriel de toutes les applications de cut dans cut, montrer que la famille formée des applications cut est libre.
  11. Montrer que la famille formée des applications cut et cut est libre.
  12. Soient cut. On pose (pour cut) cut. Montrer que cut est une famille libre (resp. une famille génératrice de E) si et seulement si il en est de même de cut.
  13. Montrer que la dimension de l'espace vectoriel produit E x F est cut.
  14. Soient cut et cut avec cut. Montrer que les cut, où cut, forment une base de cut.
  15. On suppose cut. Soit cut tel que fn=0 et cut. Soit cut tel que cut. Montrer que la famille cut constitue une base de E.
  16. Soient cut et cut, avec cut. Montrer que cut.
  17. Soit cut laissant stable toute droite vectorielle. Montrer que f est de la forme cut, avec cut.
  18. Soient E de dimension finie et cut. On suppose que cut. Montrer que ces deux sommes sont directes. Montrer que ce résultat n'est plus valable en dimension infinie.
  19. Montrer que cut est un automorphisme de cut. Que dire de cut, où cut ?
  20. Montrer que l'ensemble des vecteurs cut tels que cut est un sous-espace vectoriel de cut. En donner une base.
  21. Soient cut. Montrer que les trois applications cut, cut et cut sont liées.
  22. Soit E l'espace vectoriel de toutes les applications de cut dans cut. Montrer que la famille des applications cut définies par cut est libre.
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douillet@cnam.fr
2001-03-11