17. Calcul matriciel (1 partie)

17.1 Plan du cours

1. Sommes et produits
   1. Somme de deux matrices.
   2. Produit de deux matrices. Propriétés (associativité, neutre unilatéral, diviseurs de zéro).
   3. Transposition. Action sur les opérations.

2. Structures
   1. Espace vectoriel des matrices . Sa dimension est n x p.
   2. Algèbre des matrices carrées . Sa dimension est n².
   3. Groupe des matrices carrées inversibles.
   4. Matrices triangulaires. Matrices de Gauss. Condition d'existence et calcul de l'inverse d'une matrice triangulaire.
   5. Matrices symétriques et antisymétriques. Décomposition.

17.2 Exercices élémentaires

1. Matrices élémentaires : Soit la matrice de dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui en position et qui vaut . Pour tous indices calculer .
2. Soient deux matrices carrées symétriques. La matrice est-elle symétrique ?

17.3 Exercices

17.3.1 Produit

Soit . Déterminer toutes les matrices B telles que .

1. Existe-t-il des matrices A telles que , où et ?
2. Résoudre l'équation dans .
3. Résoudre l'équation dans .
4. Trouver toutes les matrices A de telles que A²=A.
5. Trouver toutes les matrices A de qui vérifient A²=0.
6. Trouver toutes les matrices A de qui vérifient A²=I.

17.3.2 Structures

1. Les matrices , , , et forment-elles une famille libre ou une famille liée ?
2. Donner une base de l'espace vectoriel qui soit formée de matrices inversibles.
3. Quelles sont les matrices qui commutent avec ?
4. Soient tels que a²+b²+c²=1. Soit et N=I₃-M. Montrer que M²=M. En déduire et N².
5. Pour donnés, soit A l'ensemble des matrices . Montrer que A est un sous-anneau commutatif de . A quelle condition sur est-ce un corps?
6. Montrer que l'ensemble des matrices de la forme est une sous-algèbre de . En donner une base vectorielle et la dimension. Est-ce un corps ?
7. Montrer que les matrices forment une sous-algèbre A de . En donner une base vectorielle et la dimension. Montrer que le sous-anneau A n'est pas intègre. En donner tous les diviseurs de zéro.
8. Soit A une matrice de type m x n. Montrer que et sont carrées et symétriques.
9. Soient S et A les sous-ensembles de formés respectivement des matrices symétriques et des matrices antisymétriques. Montrer que A et S forment deux sous-espaces supplémentaires de . Quelles sont leurs dimensions ?
10. Soit A une matrice carrée d'ordre n, de terme général . On dit que A est une matrice magique s'il existe un scalaire d tel que : et .
    1. Montrer que la matrice J de terme général 1 est magique.
    2. Montrer que l'ensemble des matrices magiques est une sous-algèbre de .
    3. Montrer que si A est magique et inversible, alors A^-1 est magique.
11. Structure de l'ensemble des matrices où .
12. Structure de l'ensemble des matrices , où .
13. Soit . Montrer que est un corps commutatif. Montrer que, pour tout , il existe un unique couple tel que . Que dire de l'application ? Calculer la puissance n-ième de la matrice .
14. Soit Montrer que E est une sous-algèbre de . Obtient-on un corps ? Même question en supposant dans la définition de E.