18. Calcul matriciel (2ème semaine)

18.1 Plan du cours

1. Algèbre des matrices carrées de taille donnée
   1. Un exemple d'algèbre non commutative.
   2. Évaluation d'un polynôme en une matrice
   3. Calcul effectif de l'inverse d'une matrice 3*3

2. Déterminant en dimension 2
   1. Définition du déterminant pour les matrices 2 x 2.
   2. Le déterminant est un morphisme multiplicatif.
   3. Formule . Application au calcul de l'inverse.

3. Réécriture matricielle de problèmes 2*2
   1. Suites récurrentes linéaires
   2. Symétries axiales dans le plan
   3. Disposition matricielle de l'algorithme de Bezout.

4. Changements de base
   1. Formule
   2. Changement de base . Et alors .
   3. Changement de la matrice d'une application linéaire quand on change de bases au départ et à l'arrivée.
   4. Changement de la matrice d'un endomorphisme quand on change la base de l'espace.

18.2 Exercices élémentaires

1. Résolution matricielle des récurrences :
   
2. Existence et valeur éventuelle de l'inverse des matrices suivantes :
   , , , et .

18.3 Exercices

1. Dans , déterminer une base du sous-espace vectoriel engendré par :
   1. a=(1,2,2,1), b=(5,6,6,5), c=(-1,-3,4,0), d=(0,4,-3,-1).
   2. a=(2,-5,3,10), b=(1,-1,1,3), c=(3,3,1,1).
   3. a=(1,2,5,-1), b=(3,6,5,-6), c=(2,4,0,-2).
   4. a=(2,0,4,2), b=(1,2,-2,-3), c=(3,1,3,4), d=(2,4,9,5)

18.3.1 Polynômes

1. Pour tout , on pose . Calculer . Calculer . Déterminer trois suites , et telles que .
2. Calculer l'inverse de la matrice .
3. Montrer que pour toute matrice carrée A, il existe un polynôme P non nul tel que .
4. Déterminer les polynômes tels que .
5. Déterminer un polynôme non nul tel que lorsque .
6. Calculer . Même question avec les matrices du 18.2.2.
7. Calculer Aⁿ, avec .
8. On appelle matrice de Vandermonde la matrice carrée associée à l'application définie par . On a ainsi . Condition d'existence et valeur de la matrice inverse ?.

18.3.2 Applications

1. Sur les polynômes : noyau et image de l'endomorphisme .
2. Coefficients de Bezout associés aux nombres 219 et 147.
3. Coefficients de Bezout pour les polynômes x³-2x²-5x+6 et x³-x.
4. Étude du changement de la base vectorielle de introduit par le changement de la base algébrique de défini par Y=X+a.