19. Le groupe symétrique

19.1 Plan du cours

1. Le groupe des permutations d'un ensemble
   1. Définition. Écriture matricielle, écriture conventionnelle.
   2. Support d'une permutation.
   3. Composition de deux permutations. Si les supports sont disjoints, les permutations commutent.
   4. Le cardinal de est n!.
2. Décomposition en cycles à supports disjoints
   1. Groupes cycliques, ordre d'une permutation.
   2. Orbite d'un élément sous l'action d'une permutation.
   3. Cycles, convention d'écriture.
   4. Théorème de décomposition.
   5. Calcul de l'ordre. Conjugaison, action sur les orbites.
3. Décomposition en transpositions
   1. Théorème de décomposition en transpositions
   2. Forme nécessaire d'un morphisme .
   3. Existence de la signature. Parité. Groupe alterné.
   4. Nombre d'inversions d'une permutation.

19.2 Exercices élémentaires

1. Calculer f^k pour , , , g^-1, , , pour les couples :

   et ; et

   et ; et

   et

2. Pour les mêmes f et g, décomposer f, g, , en produits de cycles à supports disjoints. Vérifier les ordres trouvés à l'exercice précédent.

19.3 Exercices

1. Énumération raisonnée des éléments de , , , ,.
2. Les transpositions engendrent . De même les transpositions . De même et .
3. Étudier le sous-groupe de engendré par et .
4. Décomposition en cycles, ordre, signature, inverse, puissances de
5. De même avec .
6. Tout sous groupe d'un groupe cyclique est cyclique.
7. Caractériser les involutions de .
8. Le groupe ne contient aucun élément d'ordre 15.
9. Trouver deux permutations telles que et .
10. Généraliser l'exercice précédent.