20. Déterminants

20.1 Plan du cours

1. Approche expérimentale
   1. Les morphismes multiplicatifs de .
   2. Un morphisme alterné, linéaire sur les colonnes, se calcule par le pivot de Gauss
   3. Formule de Sarrus
2. Construction formelle
   1. Polynôme déterminant
   2. Invariance par transposition lignes-colonnes.
   3. Action d'une permutation des lignes.
   4. Mineurs, cofacteurs, développement par rapport à une ligne ou une colonne.
   5. Déterminant d'une matrice. Théorème
   6. Le déterminant est un morphisme
   7. Déterminant d'un endomorphisme
   8. Déterminant d'une famille de vecteurs

20.2 Exercices calculatoires

1. Factoriser ,,,, ,, , ,,, ,,, ,,, , .
2. Calculer ,,, , , ,, , ,, ,
3. binomiaux :
4. trigonométriques :

20.3 Autres exercices

1. Pour , .
2. Déterminants circulants :. Généraliser au cas de 4 lettres, de n lettres.
3. Que peut-on dire du déterminant d'une matrice antisymétrique ?
4. Déterminant des matrices , ,
5. Interprétation géométrique de
6. Soit et . Utiliser pour déterminer .
7. Calculer. Généraliser.
8. Comparer et .
9. Déterminer les tels que soit inversible avec .
10. Constater que et sont divisibles par 13. So what ?
11. Calculer lorsque vaut 1+x² quand j=k, vaut x lorsque et vaut 0 sinon. Même question avec , 1 et 0. Même question avec .
12. Soient . Montrer que .
13. Calculer , et pour .
14. Calculer où .
15. Calculer où sont des vecteurs de .
16. Soit , les coefficients diagonaux étant nuls, et les autres valant . On suppose que n est pair. Montrer que A est inversible.
17. Soit A une matrice carrée d'ordre n, nilpotente. Montrer que .
18. Soit avec et . Montrer que .

19. Soient et deux suites de n réels. Calculer le déterminant d'ordre n de terme général 1+x_i+y_j.
20. Même question pour . Exemple x_i=y_i+1=i.
21. Soit et . Montrer que .

22. Avec les notations précédentes et , montrer que ou que .
23. Soit . Montrer que A^-1 existe dans si et seulement si .