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21. Espaces affines

21.1 Plan du cours

  1. Définitions

    1. Translations de l'espace vectoriel E. Elles forment un groupe. Définition cut.
    2. Définition d'un sous-espace affine par cut. Direction, libre choix de l'origine.
    3. Dimension. Droites, plans, hyperplans affines.
    4. L'intersection est soit vide, soit dirigée par l'intersection des directions.
    5. Parallélisme

  2. Equations d'un espace affine

    1. Repère, changement de repère.
    2. Représentation paramétrique. Equation implicite d'un hyperplan.

  3. Barycentres

    1. Définition. Propriétés (symétrie, associativité, homogénéité).
    2. Rappels sur les ensembles convexes.
    3. Caractérisation des sous-espaces affines.
    4. Condition de co-hyperplanéité de n+1 points, condition de concours de n+1 hyperplans.

  4. Transformations affines

    1. Définition par conservation du barycentre.
    2. Caractérisation par les images de n+1 points indépendants. Application linéaire sous-jacente.
    3. Composition, partie linéaire de la composée. Projections.

  5. Groupe affine

    1. Sous groupe des translations. Des symétries centrales-translations. Des homothéties-translations.
    2. Sous espaces invariants, symétries

21.2 Exercices

21.2.1 Dans le plan

  1. Soient cut les sommets d'un vrai triangle, et cut, cut, cut. Montrer que cut sont alignés si et seulement si cut. Donner de même une condition équivalente au concours des droites cut, cut, cut.
  2. Dans le plan affine, on considère les points cut, ainsi que les points A' barycentre de cut, B' barycentre de cut et C' barycentre de cut. Montrer que les droites cut, cut et cut sont parallèles ou concourantes.
  3. Dans le plan affine, on appelle cut les intersections d'une droite donnée avec les côtés cut, cut et cut d'un triangle. Les parallèles aux côtés cut etcut menées de cut coupent la parallèle à cut issue de A en C' et B'. Montrer que les droites cut et cut sont parallèles.
  4. Comment obtenir simplement l'équation du cercle passant par trois points donnés d'un plan affine euclidien ? ... Ne pas oublier de discuter l'existence de ce cercle.
  5. Soient cut non alignés et cut tels qu'aucun des nombres cut ne soit nul. Soient alors les barycentres cut, cut, cut, cut. Figure pour cut, cut, cut. Montrer que les droites cut, cut et cut sont concourantes. Puis que cut passe par C (et ainsi de suite).
  6. Application: déterminer les masses conduisant aux centres inscrit et exinscrits d'un triangle.

21.2.2 En dimension 3

  1. Dans cut affine, on considère quatre points indépendants (=non coplanaires) cut et quatre réels cut tous différents de -1. Soient cut les points définis par cut, cut, cut, cut. Montrer que les plans cut, cut, cut, cut ont un point en commun si et seulement si cut.
  2. Dans un espace affine de dimension 3, soient cut quatre points non coplanaires. Montrer que les droites joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée, ainsi que les droites joignant les milieux de deux arêtes opposées sont concourantes. Nature du quadrangle formé par les milieux de cut, cut, cut, cut.
  3. Donner une équation cartésienne du plan contenant la droite cut et le point cut.
  4. Dans cut affine, on considère les points cut, cut, cut, cut et cut. Déterminer la droite qui passe par A et s'appuie sur les droites cut et cut.
  5. Dans cut affine, on considère les points cut, cut, cut, cut, cut et cut. Déterminer la droite qui passe par A, est parallèle au plan cut et s'appuie sur la droite cut.
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douillet@cnam.fr
2001-03-11