22. Intégration : compléments

22.1 Plan du cours

1. Rappels : fonctions continues par morceaux sur un segment
   1. Une fonction CM a une limite à gauche (sauf en a) et une limite à droite (sauf en b) , et un nombre fini de discontinuités.
   2. Une primitive est une fonction continue
   3. Pratique effective des raccordements (ex : affines par morceaux)

2. Méthodes
   1. Linéarité : trigonométrie, fractions rationnelles
   2. Ipp, et ippm (récurrences)
   3. Changements de variable. DEUX hypothèses possibles : f continue et g dérivable ou bien f continue par morceaux et g difféomorphisme.
   4. Règles de Bioche . Utilisation de la parité
   5. Intégrales abéliennes

3. Intégrales au dessus d'un intervalle non compact
   1. Fonctions positives : borne sup
   2. Règle de l'exposant pour les fonctions positives.
   3. Fonctions quelconques : limites.
   4. Transformation de Laplace.

22.2 Exercices

22.2.1 Sommes de Riemann

Déterminer les limites des expressions suivantes () :

1)	2)	3)  ()	4)
5)	6)	7)	8)
9)  (x réel)	10)	11)	12)
13)	14)	15)	16)

22.2.2 Continues par morceaux

1. Soit f une application continue sur [0,1] et strictement positive. Montrer que .
2. Soit , continue strictement croissante, avec et . On note g=f^-1. Montrer que (utiliser des sommes de Riemann). Montrer que , , .
3. Soit f une application continue sur . Montrer que .
4. Soit E l'ensemble des applications continues . Pour toute application f de E, on pose . Montrer que pour toute f dans E, . Quand y-a-t-il égalité ? Montrer plus précisément que .
5. Soit f une application , continue, telle que . Montrer que f garde un signe constant sur .
6. Soit f une application de classe sur , et telle que . Montrer que . Indication : utiliser Cauchy-Schwarz, et penser à .
7. Montrer que .
8. Soient f et g continues . Montrer que .

9. Montrer que .
10. Existence et dérivabilité de . Étude de cette fonction : limites, tableau de variation, courbe.
11. Soit f une application de classe sur , et . On pose . On pose , et on définit de même et .
    Montrer que .
    Prouver que .

22.2.3 Intégrales techniques

1)	2)	3)
4)  (a>0 )	5)	6)
7)  ()	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)

22.2.4 Intégrales à paramètre

1. Calculer et .

2. Soit f une application continue et positive sur . Montrer que , avec .
3. Soit , continue par morceaux. Montrer que . Indication : commencer par supposer que f est en escalier.
4. Soit , continue par morceaux. Prouver .
5. Soit f une application continue sur [0,1] . Montrer que .
6. Soit f une application de classe sur [0,1] , telle que f(1)=0 . Montrer que (on pourra utiliser l'exercice précédent.)
7. Calculer ( , ).
8. Montrer que (avec 0<a<b ).
9. Pour tout entier n , calculer et .
10. On pose , où m et n sont deux entiers naturels. Trouver une relation entre I_n^m et I_n-1^m+1 . En déduire I_n^m . Calculer . En déduire .
11. Calculer pour tout a>0 .
12. Soit f une application continue sur . On pose . Montrer que g est dérivable sur et calculer .
13. Montrer que au voisinage de .
14. Déterminer les applications continues f telles que, pour tout x : .

15. Calculer la limite de quand t tend vers 0 ou vers .

22.2.5 Primitives

1. Calcul de primitives :

   1)	2)	3)
   4)	5)	6)
   7)	8)

2. De même :

   1)	2)	3)	4)
   5)	6)	7)	8)
   9)	10)	11)	12)

3. Changement de variable :

   1)  ( )	2)  ( )
   3)  ( )	4)  ( )
   5)  ( )	6)  ( avec x>0 )

4. Intégration par parties :

   1)	2)	3)
   4)	5)

22.2.6 Intégrales impropres

1. Après avoir prouvé leur existence, calculer les intégrales

   1)	2)
   3)	4)
   5)	6)
   7)

2. Existence de , de , de
3. Étudier l'existence de l'intégrale , avec .
4. Étudier l'existence de l'intégrale , avec .
5. La fonction Gamma d'Euler est définie par : . Préciser le domaine de définition de . Établir la relation . En déduire pour .