23. Equations différentielles

23.1 Plan du cours

1. Equations avec continus
   1. Définition. Problème de Cauchy.
   2. Théorème de structure : noyau, espace affine.
   3. Ligne brisée d'Euler.
   4. Résolution effective : méthode de Lagrange (variation de la constante).
   5. Exemples de transformations de Laplace.
   6. Problèmes de recollement pour les équations ( continues).

2. Quelques mots sur d'autres équations du premier ordre.
   1. Équation à variables séparables.
   2. Équation homogène.

3. Equations avec constants et f continue.
   1. Théorème de structure.
   2. Équation caractéristique. Lien avec le calcul matriciel.
   3. Résolution lorsque .
   4. Variation des constantes.

23.2 Exercices

23.2.1 Equations à coefficients constants

1. Résoudre sur les équations différentielles suivantes. Étudier le comportement à l'infini des solutions.

   1) y''-y'=x2	2) y''+4y=4	3)
   4)	5)	6) y''-3y'+2y=x2+x+1
   7)	8) y''-4y'=x2-2x	9)
   10)	11)

23.2.2 Familles de courbes intégrales

1. Résoudre sur l'équation . Étudier les points d'inflexion des courbes intégrales et leurs tangentes d'inflexion.
2. Trouver une équation différentielle affine du premier ordre ayant x³+x et x²+1 comme solutions. Puis une équation linéaire du deuxième ordre. De même avec x³+x² et x+1.
3. Poser et . Déterminer les formules de ``changement de variable'' pour une équation différentielle du premier ordre (sur un intervalle I avec ). Tester ces formules sur l'équation différentielle affine du premier ordre ayant x³ et x^-2 comme solutions.
4. Mêmes questions pour le second ordre.
5. Étude de . Lien entre les diverses courbes intégrales. Points d'inflexion de ces courbes.
6. Sur un intervalle tel que , résoudre . Tracer quelques courbes intégrales. Justifier le fait qu'aucune ne passe par l'origine.
7. Résoudre . Tracer quelques courbes intégrales. Comment passe-t-on de l'une à l'autre ?
8. Mêmes questions pour et pour .

23.2.3 Méthode de Lagrange, recollements

1. Étude de .
2. Résoudre (déterminer les solutions maximales). Existence unicité d'une solution sur . Développement limité en x=0 ?
3. Résoudre .
4. Résoudre

   1)	2)	3)
   4)	5)	6)
   7)	8)	9)
   10)	11)	12)
   13)	14)	15)

5. Résoudre sur les intervalles , puis sur :

   1)	2)	3)
   4)	5)	6)

23.2.4 Equations fonctionnelles

1. Résoudre z''-z'+z=0. En déduire la résolution sur de (on posera ). Déterminer les fonctions deux fois dérivables sur vérifiant l'équation fonctionnelle .
2. Utiliser une équation différentielle pour déterminer les fonctions deux fois dérivables sur vérifiant l'équation fonctionnelle .
3. Résoudre sur .
4. Déterminer les courbes telles que OT soit proportionnel à y_M², le point T étant l'intersection de la tangente en M avec l'axe des ordonnées.