24. Fonctions de deux variables (1)

24.1 Plan du cours

1. Polynômes à deux variables
   1. . Structure d'algèbre. Bijection canonique avec .
   2. Degré en X, en Y, degré total. Les sous-espaces homogènes. .
   3. Dérivées partielles. Schwarz-polynômes. Formule d'Euler pour .
   4. Taylor-Young pour les polynômes.

2. Normes sur un espace vectoriel
   1. Distance sur un ensemble
   2. Normes usuelles sur et . Distance issue d'une norme.
   3. Équivalence des normes. Limite d'une suite. Bolzano-Weierstrass.
   4. Vocabulaire de la topologie : ouvert, fermé, intérieur, adhérence.

3. Continuité
   1. Continuité d'une fonction de deux variables. Caractérisation séquentielle.
   2. Algèbre des fonctions numériques continues ayant même ensemble de départ.
   3. Image réciproque d'un ouvert, d'un fermé par une continue.
   4. Une fonction continue d'un compact vers atteint ses bornes.
   5. Applications partielles. Leur continuité est insuffisante pour que f soit continue.

24.2 Exercices

24.2.1 Polynômes

1. Déterminer deux polynômes premiers entre eux tels qu'il n'existe pas de polynômes tels que .
2. Pour quelles valeurs de n le polynôme est-il divisible par ?
3. Décomposer en facteurs dans .

24.2.2 Topologie

1. Une réunion, une intersection d'ouverts sont-elles des ensembles ouverts ?
2. Une réunion, une intersection de fermés sont-elles des ensembles fermés ?
3. Comment définir une fonction de Lipschitz dans le cas ? Montrer qu'une telle fonction est continue.
4. On pose . Examiner si est une distance sur . Et sur ?
5. Montrer que est une distance sur .
6. On a montré que les normes , et sont équivalentes sur . Montrer que toutes les normes de sont équivalentes entre elles.

24.2.3 Continuité

1. Peut-on prolonger en une fonction continue en ? De même pour et .
2. Extremums de , de , de x²+y³ dans le plan, puis dans le disque unité.