25. Fonctions de deux variables (2)

25.1 Plan du cours

1. Dérivation
   1. Dérivée selon un vecteur. Dérivées partielles.
   2. Gradient d'une fonction . Invariance.
   3. Matrice jacobienne . Théorème de composition.
   4. Pour une application , déterminant jacobien.
   5. Théorème d'inversion locale (admis).
   6. Plan tangent et différentielle .
   7. Courbes de niveau, gradient.
   8. Nécessaire : l'existence des nombres "dérivées partielles"
   9. Suffisant : la continuité (à deux variables) des fonctions "dérivées partielles"
   10. Condition nécessaire pour qu'un point intérieur soit un lieu d'extrémum

2. Dérivées partielles d'ordre supérieur
   1. Schwarz cas général
   2. Taylor-Young à l'ordre 2 pour une fonction C2 sur un ouvert
   3. Application à des recherches d'extrémum

25.2 Exercices

25.2.1 Continuité

1. Étudier la continuité en de avec .
2. On considère et on définit par et . Conditions sur pour que f soit continue ?

25.2.2 Dérivées partielles

1. Dérivées partielles de

   1)	2)	3)
   4)	5)	6)

2. Gradient de . Tracer diverses courbes de niveau de cette fonction. Étudier en particulier le cas z=0.
3. La surface admet-elle un plan tangent en ? Que dire de ses dérivées partielles ?
4. Examiner de même et .
5. Comparer les dérivées partielles de et de . Qu'en conclure ?
6. Développements limités en de , de , .
7. On pose et sinon . Continuité, différentiabilité, caractère de f.
8. Mêmes questions pour et sinon .
9. Soit de classe telle que . On pose . Montrer que g est aussi de classe . Calculer . Conclure.

25.2.3 Jacobien

1. Jacobien cartésien-polaire, cartésien-sphérique
2. Jacobien de u=x+y+z, , .
3. Jacobien de

25.2.4 Extremums

1. Comment placer trois points sur un cercle pour que l'aire du triangle soit maximale ?
2. Soient trois points fixés. Etudier la fonction .
3. Pour , on pose . Calculer , , , . Posant , montrer qu'il existe A symétrique telle que . Montrer que la matrice permet de définir un changement de base. Calculer son inverse. Donner matrice de g dans cette nouvelle base. Application à la courbe d'équation 2x²+2y²+2xy+2x-2y+1=0 : nature, tracé.
4. Problème analogue pour x²+y²-2xy-4x-4y+4=0.
5. Déterminer les extrema de sur .
6. Même question avec x³+y³+x-y sur .