Semaine n° 26
Espaces euclidiens

26.1  Plan du cours

1. Produit scalaire

   1. Définition. Cauchy-Schwarz, norme et distance associées. Polarisation.
   2. Vecteurs unitaires. Vecteurs orthogonaux, sous-espaces orthogonaux.
2. Espaces euclidiens

   1. Définition. Matrice de Gramm. Pivot de Gauss symétrique.
   2. Algorithme de Schmidt. Supplémentaire orthogonal d'un sous espace.
   3. Écriture d'une forme linéaire comme f( x) = á a | x ñ
   4. Projecteurs orthogonaux. Caractérisation. Distance d'un point à un sous-espace.
   5. Coefficients de Fourier, relation de Parseval-Bessel (dimension finie !).
3. Automorphismes orthogonaux

   1. Définition. Isométries. Groupe orthogonal O( E) . Symétries orthogonales, réflexions.
   2. Matrices orthogonales, groupe O( n) . Changement de base orthonormée.
   3. Déterminant d'une isométrie, d'une réflexion.
   4. Groupe SO( E) , groupe SO( n) . Volume orienté.
   5. Étude de SO( 2) . Décomposition en réflexions. Angles plans.
4. Automorphismes orthogonaux de l'espace R³ .

   1. Décomposition en réflexions. Axe et angle non orientés d'une isométrie.
   2. Produit vectoriel aÙb Î E^* tel que á aÙb | c ñ = det( a, b, c) .
   3. Parties symétrique et antisymétrique d'une matrice de rotation.
   4. Décomposition de la matrice d'un antidéplacement.

26.2  Exercices

1. Projeté orthogonal de u=( 1, 2, 3) sur le plan x+y+z=0 .
2. Les matrices symétriques ( min( j, k) ) , ( max( j, k) ) , ( gcd( j, k) ) sont-elles définies positives ? En pareil cas, appliquer l'algorithme de Schmidt. Procéder par calcul direct pour n=2 , n=3 et n=4 puis généraliser.
3. On pose á p, q ñ = ò_-1⁺¹p( t)  q( t)  dt . Montrer qu'il s'agit d'un produit scalaire sur R[ X] . Déterminer une base orthonormée de R₂[ X] . En déduire la projection orthogonale de x³ sur R₂[ X] , ainsi que le minimum (pour a, b, c Î R) de ò_-1⁺¹( x³-a x²-b x-c) ² dt .
4. Dans R³ , projection orthogonale de la droite ( D) : x+y+z=1  et  x-y-2z=0 sur ( P) : x+2y+3z=0
5. Examiner si á p, q ñ = p( 0) q( 0)  + ò_-1⁺¹p¢( t)  q¢( t)  dt est un produit scalaire sur l'espace des fonctions de classe C¹ sur [ -1, +1] .
6. L'ensemble E={ ( x, y, z) Î R³\ 2x²+2y²+5z²+4x y-2x z-2y z=0 } est-il un espace vectoriel sur R? Que peut-on en dire d'autre ?
7. Appliquer l'algorithme de Schmidt à la base canonique de R[ X] pour le produit scalaire á p, q ñ = ò_-1⁺¹[p( x) q( x) /(Ö{1-x²})] dx. Même question pour á p, q ñ = ò_-1⁺¹p( x) q( x) exp( -x)  dx.
8. On considère á p, q ñ = ò_-p^+pp( x) q( x)  dx et l'espace engendré par les fonctions 1 , sin( k x) , cos( k x) . Déterminer les coefficients de Fourier relatifs aux fonctions x , x² , x³ .
9. Déterminer toutes les matrices orthogonales ayant le modèle donné. Étudier les isométries associées.
   

   modele= æ ç ç ç è 2/3 1/3 * 2/3 * * * * * ö ÷ ÷ ÷ ø

10. Montrer que á A | B ñ =trace( ^t A B) est un produit scalaire dans M_n ( R) .
11. On se place dans un plan affine euclidien (toutes les projections sont orthogonales). On fixe trois droites du plan, formant un triangle ABC. On prend un point du plan, on le projette en A₁ sur ( BC) . Puis le résultat est projeté en B₁ sur ( CA) , puis le résultat est projeté en C₁ sur ( AB) et on itère le processus. Montrer que l'on obtient trois suites convergentes. Étudier en détail le cas équilatéral.
12. Montrer que la matrice [ [ a, c, b] , [ b, a, c] , [ c, b, a] ] est la matrice d'une rotation de R³ si et seulement si a, b, c sont les racines d'un polynôme P( x) = x³-x²-q avec q Î [ -[4/27], 0] . Étudier en détail le cas q=-[2/27] .
13. Déterminer toutes les matrices orthogonales A ayant le modèle donné. Que peut-on dire des diverses suites s_n=[1/n]å_k=0^n-1A^k ?
    

    modele= æ ç ç ç è 3/7 -6/7 * -2/7 * * * * * ö ÷ ÷ ÷ ø