Semaine n° 27
Courbes paramétrées

27.1  Plan du cours

1. Étude des courbes planes

   1. Equations explicite, implicite et paramétrique d'une courbe.
   2. Une description locale au point ( a,b) est la donnée d'un rectangle R=V( a) ×V( b) et d'une fonction explicite f tels que ( x,y) Î GÇR soit équivalent à : x Î V( a) et y=f( x) .
   3. Lorsque f est de classe C² , la condition q ¹ 0 est suffisante pour l'existence d'une description locale de f( M) = f( M₀) et l'on a [(d )/(d x )]f( x) = -[p/q] ainsi que [(d² )/(d x ² )]f( x) = -[(r q²-2s p q+t p²)/(q³)]
2. Contacts

   1. Contact d'ordre m de deux courbes en un point à distance finie. Pour des polynômes, équivalence avec a est racine multiple d'ordre de l'équation aux abscisses des points d'intersection.
   2. Branches infinies et développements asymptotiques. Position relative.
3. Arcs paramétrés

   1. On considère les deux premiers vecteurs dérivés formant un repère.
   2. Quatre cas selon les parités, le cas usuel étant ( 1, 2) (point birégulier). Sous espaces caractéristiques.
   3. Un arc est une application C¹ d'un segment vers Rⁿ , dont la dérivée n'est jamais nulle et qui ne comporte qu'un nombre fini de points multiples. Arc simple (aucun point multiple).
   4. Deux paramétrisations d'un même arc simple se correspondent par un difféomorphisme.
   5. Le composé d'un difféomorphisme et d'un arc est un arc (changement admissible de paramètre).
4. Dans le plan affine euclidien :

   1. (arc de classe C¹ ) : abscisse curviligne ; repère de Frenet ; s est un paramètre admissible.
   2. (arc de classe C² ) : relations de Frenet, courbure. Relation entre a = ( e₁, T) et la courbure.
   3. Si l'arc est birégulier, a est un paramètre admissible.
   4. Accélérations tangentielle et normale. Exemples de calcul du centre et du rayon de courbure.

27.2  Exercices

Étudier un graphe ... nécessite de tracer les graphiques, avec tangentes, cercles, etc.

1. Folium de Descartes x³+y³-6x y=0 : étude locale en ( 0,0) et aux points où x=3 .
2. Courbes de niveau de f( x,y) = y²( x+3) -( x-1) ( x+2) ² (et en particulier f( x,y) = 0 ).
3. Étude de x=[(1-t)/(t³)], y=[(1-t)/(t²)]
4. Étude de x=exp( t-1) -t, y=t³-3t
5. Étude de x=2cost+cos2t, y=2sint-sin2t
6. Étude de x=sint, y=[sint/(2+cost)]
7. Étude de x=cos³t, y=sin³t . Calculer la longueur de la courbe.
8. Étude de la cycloïde x=t-sint, y=1-cost . Calcul de la longueur d'une arche.
9. Vérifier sur des exemples : le cercle simplement osculateur (contact triple) traverse la courbe.
10. Courbes R=cosq, R=cosqcos2qcos3q, R=cosqcos2qcos4q.
11. Tracer R=[(cosq-sinq)/(cosqsinq)] . De même : R=sin2q( cosq+sinq) .
12. Formules du rayon de courbure en implicite, en paramétrique (notamment en polaire).
13. Rayon et centre de courbure des courbes Q10 aux points remarquables.