28. Courbes en polaire, coniques

28.1 Plan du cours

1. Courbes en polaires
   1. Questions à résoudre : période (de la courbe), passage par l'origine, points à l'infini, valeurs extrémales du rayon, symétries.
   2. Repère radial local. Formule . Vitesse, accélération, courbure.
   3. Expression de s, ds, et . Formules de la courbure aux points remarquables.
   4. Exemples de recherche des éléments de symétrie d'une courbe en polaires.
   5. Exemples de recherche d'asymptotes.
2. Coniques
   1. Point de vue quadratique. Dégénérescence. Condition d'existence d'un centre. Équation centrale.
   2. Propriété métriques : en progression géométrique de raison e et en progression géométrique de raison . Cas limites : cercle (pas de directrices) et parabole (pas de centre).
   3. Équation au sommet , cercles surosculateurs aux sommets.
   4. Passage en polaires. Équation polaire d'une droite. Équation polaire focale d'une conique.

28.2 Exercices

28.2.1 Courbes polaires

1. Étude de , , , , , , , , , , .
2. Déterminer les éléments de symétrie éventuels.
3. La droite : x=-2 et le cercle de rayon 4 centrée sur l'origine. Une droite variable passant par O coupe e en M et en N. Donner le lieu géométrique du point I milieu du segment . Équation cartésienne. Équation polaire.
4. Étude de . Commencer par en déterminer les éléments de symétries. Montrer que la restriction à donne un segment de droite.
5. Équation en coordonnées polaires de . Retrouver les éléments remarquables.
6. Équation en coordonnées polaires de . Retrouver les éléments remarquables.

28.2.2 Coniques

1. Ellipses et hyperboles et : tracé, éléments remarquables.
2. On considère le carré , B, , D. On porte AN=u vers le bas et AM=2u vers la droite. Déterminer le lieu du point .
3. Déterminer le lieu des centres des cercles tangents à deux cercles donnés, eux-mêmes tangents intérieurement.