Devoir 01

corrigé

1 Triangle de Napoléon.

1. Soient avec et . Existence, unicité, détermination de la similitude telle que et .
   1. Si existe, alors existe. Si est unique, alors est unique. Ne pas y passer 3 pages.
   2. Supposons l'existence de . On a alors et . On en déduit (division possible, car et car ), puis . Démontrant l'unicité (si existence).
   3. Il suffit alors de tester ces valeurs pour montrer l'existence, et donc l'unicité.
2. En déduire que la quantité caractérise les triangles qui sont (directement) semblables à un triangle donné . Interprétation géométrique ?
   1. ``Caractérisation'' veut dire ``équivalence'': il faut une démonstration dans chaque sens.
   2. On suppose la similitude des triangles et . Alors et . Comme , les quantités et ont la même existence, et on a .
   3. Si ne sont pas définis, on a et , et il existe une similitude telle que et . Si on suppose , on a alors et . La question précédente montre l'existence de telle que et . On reporte et l'on vérifie que l'on a aussi .
   4. La quantité exprime le premier cas de similitude de deux triangles : un angle homologue égal, compris entre deux côtés homologues proportionnels.
   5. Remarque 1 : la donnée d'un triangle met en jeu 6 paramètres réels, la condition d'existence de en utilise 2, tandis que la donnée de en utilise 4.
   6. Remarque 2 : les valeurs , , correspondent aux ``triangles'' avec deux points confondus : il faut donc exclure ces valeurs du cas général.
3. En déduire que équilatéral équivaut à .
   1. Un triangle équilatéral réduit à un point vérifie la relation. Sinon, il est semblable à ou bien à , triangles caractérisés respectivement par et par . On a donc et donc , ou bien . Le produit est donc nul.
   2. Réciproquement, supposons . On montre aisément que le cas particulier , conduit à et le triangle est équilatéral. Dans le cas général (), l'un des deux facteurs est nul et l'on a avec ou bien avec . Et l'on conclut avec la relation précédente.
4. Soit le triangle . On construit tel que les triangles , et soient semblables entre eux. Montrer que et ont même centre de gravité.
   1. D'après la question 2, on a : , et . En sommant membre à membre, on obtient . Le cas particulier mis à part (c'est à dire ) on obtient bien l'égalité des centres de gravité.
5. On suppose équilatéral. Montrer que tous les triangles sont équilatéraux.
   1. On a
      d'où
      et .
   2. On en déduit que `` équilatéral non réduit à un point'' implique ``tous les triangles sont équilatéraux''.
6. On suppose non équilatéral. Montrer qu'un seul triangle est semblable à . Combien obtient-on de triangles équilatéraux parmi les triangles ?
   1. Pour avoir et semblables, il faut avoir . Or et . D'où . On aboutit à . Or le premier facteur n'est autre que . La seule solution possible est donc .
   2. Or il est évident que convient (triangle des milieux des côtés).

      
      
      

      quelconque

      
      
      

   3. La formule Q5 montre que les hypothèses `` non équilatéral et sans points confondus'' et `` équilatéral'' impliquent ou bien , autrement dit des triangles isocèles avec un angle de 120, tous trois situés à l'extérieur du triangle initial, ou bien tous trois recoupant le triangle initial

      
      
      

      
      
      

2 Homographies

On pose , avec (aucune autre propriété n'est supposée sur l'objet ).

1. On suppose et . L'application définie par et sinon est appelée similitude. Montrer que est une bijection. Donner sa réciproque.
   1. Si alors et si alors , d'où et, à nouveau, . Ce qui établit l'injectivité.
   2. Il est clair que possède un antécédent. Soit alors . L'équation possède une solution en , à savoir et possède encore un antécédent. Ce qui établit la surjectivité.
2. On suppose avec et . L'application définie par , et sinon est appelée homographie non dégénérée. Montrer que est une bijection et donner son application réciproque.
   1. Posons et . La situation et est impossible. En effet vaut qui n'est jamais nul. On voit que induit une application .
   2. Soient . Alors n'est jamais nul, et est injective.
   3. Soit . Alors l'équation admet pour solution (le dénominateur ne pouvant s'annuler) et est surjective.
   4. En recollant les morceaux, on voit que elle même est une bijection. Mieux encore, est une homographie, avec
3. On appelle homographie une application qui est soit du type (1) soit du type (2). Montrer la composée de deux homographies est encore une homographie. Donner la formule correspondant à avec et .
   1. Soit . Posons et . Le calcul élémentaire de à partir de conduit à , qui peut donc se réécrire avec , , et .
   2. La propriété est une conséquence de .
   3. Montrons que la propriété continue à se vérifier pour les trois cas particuliers (deux pour et deux pour ).
      donne et donc . Qui est effectivement égal à
      donne et donc . Qui coïncide avec
      qui conduit à est associé avec
   4. Il reste à montrer que les formules (a) s'appliquent également aux similitudes.
4. A quelle condition est-elle involutive, c'est-à-dire vérifie ?
   1. Pour une similitude, il faut , soit , pour tout . Les seuls cas possibles sont donc (application identique) ou bien , avec quelconque (symétrie centrale).
   2. Pour une homographie avec , il est nécessaire que , imposant la relation .
   3. Les réciproques sont immédiates. On a donc deux cas en tout : l'application identique, et les homographies qui vérifient .
5. Montrer qu'une homographie différente de l'identité possède soit un soit deux points fixes, c'est à dire que l'équation possède soit une, soit deux solutions.
   1. Pour une similitude, est fixe. Il existe un autre point fixe lorsque possède des solutions, c'est à dire pour (les translations).
   2. Pour une homographie avec , aucun des cas particuliers ne peut être fixe. Il suffit donc de résoudre , soit qui est du second degré.
6. On suppose que possède deux points fixes et (avec ). On pose . Que vaut ? Quels sont ses points fixes ?
   1. On peut utiliser (3.a). On peut aussi calculer . Avec (2.b) il vient . D'où .
   2. On voit donc que est une similitude de centre (le multiplicateur est différent de ). Ses points fixes sont et .
7. On suppose que ne possède qu'un seul point fixe . On pose . Que vaut ? Quels sont ses points fixes ?
   1. On a . L'équation ayant une racine double, on a soit , ainsi que . On en déduit . Cette expression étant une constante, on voit que est une translation.
   2. L'unique point fixe de est .
8. On appelle cycle soit un cercle soit une droite complétée par le point . Montrer qu'un point appartient au cycle déterminé par trois points distincts si et seulement si .
   1. On remarque que correspond à , tandis que correspond à , et correspond à . On exclut ces valeurs de ce qui suit.
   2. Si sont alignés, la relation est vérifiée par . Pour la relation se simplifie en . Ce qui caractérise bien la droite complétée .
   3. Si les trois points ne sont pas alignés, ils déterminent un cercle. Son équation peut se réécrire en en posant et . Le rayon est alors déterminé par .
   4. Si l'on suppose sur le cercle, on a pour . D'où et la quantité est sa propre conjuguée : c'est donc un réel.
   5. Si l'on suppose réel, on choisit tel que . On écrit que est nul. En factorisant, il vient tous les autres facteurs étant non nuls. Et donc vérifie l'équation du cercle.
9. Soit une homographie. On pose , etc. Montrer que . En déduire que l'image d'un cycle par une homographie est encore un cycle.
   1. La formule voulue découle de (2.b). L'inclusion vient en appliquant (8) et le fait que l'on obtienne tout le cycle vient de l'homographie réciproque.
10. Exemple : images successives du cercle trigonométrique par l'homographie .
    .
    1. En faisant les calculs, on constate que pour tout : périodicité..
    2. D'après (9) il suffit de suivre l'évolution de trois points caractéristiques. Ainsi:
       , , , , , .