Devoir 02 (ds 01)

corrigé

``Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre `` (concours Mines-Ponts).

1  Une transformation ponctuelle

On considère l'application f : C ® C : z® f( z) = | z| ²+([`z]) ²

1. Expliciter f( x+i y) pour x, y Î R. Calculer f( exp( i k[(p)/3]) ) pour k Î [ 0 .. 5] .

   1. On a i²=-1 et donc ( -i y) ²=-y² , conduisant à f( x+i y) = 2x²-2i x y .
   2. On repart de la définition, afin de tester (a). Il vient f( +1) = f( -1) = 2 , f( exp( i[(p)/3]) ) = f( exp( i[(4p)/3]) ) = 1+j²=-j et f( exp( i[(2p)/3]) ) = f( exp( i[(5p)/3]) ) = 1+( j²) ²=-j² .
2. Condition sur z₁, z₂ pour que f( z₁) = f( z₂) .

   1. En identifiant parties réelles et imaginaires, on trouve 2x₁²=2x₂² et 2x₁y₁=2x₂y₂ .
   2. On a donc x₁=x₂ ou x₁=-x₂ .
   3. Si x₁=x₂=0 la deuxième équation est toujours vérifiée. Autrement dit, tous les imaginaires ( z Î i R) ont la même image, à savoir 0 . Ce sont les seuls.
   4. Dans les autres cas (i.e. f( z) ¹ 0 ), toute image possède exactement deux antécédents (qui sont opposés).
3. Quelle est l'image par f du cercle trigonométrique ?

   1. Calcul immédiat : f( exp( i a) ) = 1+exp( -2i a) .
   2. On en déduit que l'image de U est le cercle de centre w = 1 et de rayon 1 (on obtient tout le cercle car l'exponentielle imaginaire est surjective i R ® U
   Figure 1: Description polaire du plan et son image par la transformation.

4. Quels sont les z Î C tels que ( f( z) -1) ²=1 ?

   1. Cette équation équivaut à f( z) = 0 ou f( z) = 2 . Dans le premier cas, tous les imaginaires conviennent. Dans le second, on retrouve z=+1 et z=-1 .

2  Cercle de Nyquist

Les nombres a, b, c, d sont des réels donnés, x est un réel variable. On considère le complexe z=[(a+i b x)/(c+i d x)] et M son image dans le plan rapporté à un repère orthonormé.

1. Déterminer l'image A de z quand x=0 . On appelle B le point d'abscisse [b/d] (il correspond à l'image de z quand x® ¥).

   1. On a f( 0) = [a/c] . On voit que les conditions c ¹ 0 et d ¹ 0 sont sous-entendues.
2. Calculer z = z-[1/2]( [a/c]+[b/d]) . Déterminer le module de | z| . En déduire le lieu de M lorsque x parcourt R.

   1. On a f( x) -f( 0) = -i x[(( a d-b c) )/(( i d x+c) c)] et f( x) -f( ¥) = [(( a d-b c) )/(( i d x+c) d)] . Prenant la moyenne des deux, il vient z = [(a d-b c)/2c d] [(-i d x+c)/(+i d x+c)] .
   2. Il est clair que le deuxième facteur est de module 1 . On a donc | z| = | [(a d-b c)/2c d]| , et les z sont sur un cercle de centre [1/2]( f( 0) +f( ¥) ) .
   3. Il devrait être clair que f( ¥) ne sera pas atteint si l'on impose x Î R ! Et de fait, on obtient tout le cercle ayant [ f( 0)  ; f( ¥) ] pour diamètre, à l'exception d'un point.

f( x) = [(-1+6 i x)/(1+2 i x)]

3  Construction de l'inverse d'un complexe

Dans ce qui suit, z désigne un complexe non réel (autrement dit z Î C\R) et l'on cherche à déterminer son inverse par des moyens géométriques..

1. Montrer que les points ayant pour affixes les nombres 1, -1, z, -1/[`z] appartiennent à un même cercle.

   1. Le point d appartient au cycle (droite ou cercle) déterminé par a, b, c si et seulement si [(( c-b)  ( d-a) )/(( c-a)  ( d-b) )] Î RÈ{ ¥} (le cas ¥ correspondant à d=b ).
   2. Le `` - '' de -1/[`z] avait traîtreusement disparu. La condition 1, -1, z, +1/[`z] conduit à [(( z+1) ( 1-[`z]) )/(( z-1)  ( 1+[`z]) )] Î R qui se résout en z Î U !
   3. Par contre, 1, -1, z, -1/[`z] cocycliques conduit à [(( z+1)  ( 1+[`z]) )/(( z-1)  ([`z]-1) )] Î R qui est une évidence (chaque étage est réel !). Le nombre 1/z est aussi sur ce cercle.
2. Indiquer comment déterminer ce cercle. En déduire une construction géométrique de l'inverse du nombre z .

   1. Il faut partir des trois points connus, et tracer deux médiatrices. Celle de [ +1, -1] est toute tracée. Il suffit de tracer celle de [ 1, z] . Leur intersection donne le centre du cercle (et elles se coupent effectivement, parce que z Ï R).
   2. L'argument de -1/[`z] est déphasé d'un demi-tour par rapport à celui de z , autrement dit les points z, 0, -1/[`z] sont alignés : l'intersection de la droite et du cercle donne -1/[`z] .
   3. Le nombre 1/z est alors le symétrique de -1/[`z] par rapport à l'axe vertical.

4  Formules de Dirichlet et de Féjer

1. Redonner les étapes du calcul de D_n( t) = å_k=-n^k=+ncos( k t) .

   1. Exercice déjà corrigé ! On passe aux exponentielles et on remarque que D_n( t) = å_k=-n^k=+nexp( i k t) (les sin s'éliminent pour des raisons de parité).
   2. Il convient de séparer le cas exp( i t) = 1 qui conduit immédiatement à la valeur 2n+1 .
   3. On applique la formule des suites géométriques, obtenant D_n=[(exp( i( n+1) t) -exp( -i n t) )/(exp( i t) -exp( 0) )] . Que l'on transforme en D_n=[(exp( i( n+1/2) t) -exp( -i( n+1/2) t) )/(exp( i t/2) -exp( -i t/2) )] . Finalement :
      

      Dn( t) = k=+n å k=-n   cos( k t) = sin æ ç è n t+ 1 2 t ö ÷ ø sin æ ç è 1 2 t ö ÷ ø

2. Que vaut alors F_n( t) = å_k=0^k=n-1D_k( t) ?

   1. Un calcul analogue conduit à :
      

      Fn( t) = n-1 å k=0    sin æ ç è k t+ 1 2 t ö ÷ ø sin æ ç è 1 2 t ö ÷ ø = sin æ ç è 1 2 t n ö ÷ ø 2   sin æ ç è 1 2 t ö ÷ ø 2

5  Différence symétrique de deux ensembles

Soit E un ensemble donné une fois pour toutes. Pour A, B Î P( E ) on définit la ``différence symétrique'' de ces deux ensembles par A D B=( AÈB) \( AÇB) .

1. Donner la fonction caractéristique c_A D B de A D B à partir des fonctions caractéristiques c_A et c_B des ensembles A et B .

   1. Lorsque F et G sont quelconques, il n'y a pas égalité entre c_F\G et c_F-c_G . Une démonstration précise est donc nécessaire.
   2. Soit x un élément générique de E . Posons a=c_A( x) et b=c_B( x) . Alors x Î A D B veut dire ( x Î ( AÈB) ) et ( x Ï AÇB) . On a donc c_A D B( x) = ( a+b-a b) ( 1-a b) . Comme a b( 1-a b) est nul, il vient c_A D B( x) = a+b-2 a b .
2. Montrer que ( P( E ) , D) est un groupe commutatif. On apportera un soin particulier à la démonstration de l'associativité.

   1. Le caractère interne et la commutativité sont évidents.
   2. On voit aisément que Æ D A=A D Æ = A et que A D A=Æ pour tout ensemble A .
   3. Il reste l'associativité. Posons a=c_A( x) . Alors c_{A D( B D C)} ( x) = a+( 1-2 a) c_B D C . Il vient a+( 1-2 a) ( b+c-2 b c) conduisant à a+b+c-2( a b+b c+c a) +4 a b c . Or cette formule ne dépend en aucune façon de l'ordre adopté pour les lettres. On a donc A D( B D C) = C D( A D B) . La commutativité permet de conclure. Retenons :
      

      cA D( B D C) ( x) = ( a+b+c) -2( a b+b c+c a) +4 a b c

3. Examiner une éventuelle distributivité de È ou de Ç sur D.

   1. Testons si AÈ( B D C) = ( AÈB)  D ( AÈC) . Si l'on prend A=E , le membre de gauche vaut E , tandis que le membre de droite vaut E D E=Æ. Donc non.
   2. Calculons si AÇ( B D C) = ( AÇB)  D ( AÇC) . Il vient a( b+c-2 b c) = a b+a c-2 a c×a c qui est une identité (rappel : c²=c ). Donc oui.
4. En supposant A, B, C finis, déterminer Card( A D B D C) à partir des cardinaux des ensembles A, B, C et de leurs intersections.

   1. La formule Card( X) = å_{x Î X}c_X( x) et la question 2 donnent directement :
      
      

      Card( A D B D C) = ( Card A+Card B+Card C) -2( Card AÇB+Card BÇC+Card CÇA) +4 Card AÇBÇC

      Les éléments figurant dans un seul ensemble sont comptés une fois, ceux figurant dans deux des ensembles sont comptés 1+1-2 fois (c'est à dire ne sont pas comptés) et ceux figurant dans les 3 ensembles sont comptés ( 1+1+1) -2( 1+1+1) +4( 1) = 1 fois.
5. Caractériser simplement les éléments de A₁ D A₂ .. D A_n lorsqu'il y a un nombre quelconque d'ensembles, et non plus trois seulement.

   1. Il s'agit des éléments figurant dans un nombre impair d'ensembles A_j .
   2. Par conséquent, la notion de différence symétrique ne peut être étendue à une famille infinie de parties (comportement différent de celui de l'union et de l'intersection).