Devoir 07 (ds 03)

corrigé

1. Exercice 8.3.13

1. Soient le segment avec et une fonction . On suppose trois fois dérivable sur . Montrer . On pourra considérer une fonction .
   1. Cet exercice avait déjà été traité : on pose , et on écrit que avec , puis que avec (Taylor Lagrange avec reste du 3ème ordre). On a donc . Comme est une dérivée, cette fonction possède la propriété des valeurs intermédiaires, et il existe tel que .
   2. Pour ce qui est de la méthode proposée par le sujet, on commence par remarquer que la fonction est définie sur l'intervalle , et que est de Rolle sur cet intervalle.
   3. On calcule ensuite et . On voit donc que .
   4. On définit par . On en déduit l'existence d'un tel que . On a alors , et la formule des accroissements finis nous montre que pour un certain .

2. Dualité fonctionnelle

2.1 Préliminaires

Soit l'ensemble des fonctions vérifiant et admettant une fonction dérivée positive, continue et strictement croissante sur . Soit .

1. Quels sont les différents comportements possibles de lorsque ?

   Par limite monotone, existe dans et vaut soit , soit un .

2. Montrer que .

   Par Taylor-Lagrange, , puisque .

3. En déduire que est strictement croissante sur .

   On calcule la dérivée et on applique 2.1.2.

4. Montrer que . On pourra s'intéresser à .

   Par Taylor-Lagrange, on a car et .

5. Montrer qu'il y a équivalence entre et .

   Posant , on a donc et : il y a contrôle mutuel des deux fonctions.

2.2 Dualité

Soit l'ensemble des telles que et . Désormais, .

1. Pour , on définit la fonction par . Montrer qu'il existe un et un seul tel que . On définit les fonctions et par et et on se propose de les étudier.
   1. Pour et , on a puisque est strictement décroissante. On a donc , valeur atteinte une seule fois en .
   2. Soit maintenant . Avec Q2.1.5, on peut prolonger en une fonction continue sur en posant . La borne sup est donc atteinte. Comme , on voit que et . Par conséquent, la borne sup n'est pas atteinte aux bornes de l'intervalle , mais en un ou plusieurs points intérieurs. Ces points sont alors déterminés par la condition , c'est à dire par .
   3. Comme est continue et strictement croissante, elle réalise une bijection : en est l'application réciproque, montrant l'existence et l'unicité de .
2. Montrer que est continue, strictement croissante, que et que lorsque .

   Théorème de la bijection bicontinue bimonotone entre intervalles.

3. Désormais et est un réel tel que . Établir l'existence d'un réel compris entre et tel que . En déduire que avec .
   1. La relation n'est autre que la relation des accroissements finis appliquée à la fonction . On a avec . Comme , on a .
   2. On en déduit d'où avec , i.e. .
4. Montrer que est dérivable sur et que .

   La formule précédente n'est autre que Taylor-Young à l'ordre 1 : le reste peut en effet s'écrire et le deuxième facteur tend vers avec par continuité de .

5. Montrer que est dérivable en et préciser .
   1. On a , prouvant la continuité de en . Comme existe ( est continue en ), on peut appliquer le théorème de prolongement de la dérivée d'une fonction de Rolle. Et l'on a .
   2. On remarquera que le calcul suppose abusivement que est deux fois dérivable.
6. Montrer que et sont des fonctions réciproques l'une de l'autre. En déduire et .
   1. Les questions Q2.2.4 et Q2.2.5 montrent que et sont des fonctions réciproques l'une de l'autre, tandis que Q2.2.1 montre et Q2.2.2 montre les autres propriétés nécessaires pour que .
   2. La relation vient de ce que ces deux fonctions ont même dérivée sur et même valeur en .
7. Lemme : soit croissante et telle que . Montrer que .
   1. Comme est croissante, l'hypothèse implique et donc , tandis que l'hypothèse contraire implique et donc à nouveau .
   2. La relation seule donne seulement bijective. Parmi les solutions possibles : .
8. On cherche les fonctions telles que . Commencer par examiner ce que l'on peut dire de .

   Il faut donc que et donc .

3. Fonctions absolument monotones

Pour avec , on dit qu'une fonction est absolument monotone sur si est indéfiniment dérivable et si .

Pour , on dit que est absolument monotone sur si est absolument monotone sur et de plus est continue en .

1. Déterminer quelles sont, parmi les fonctions suivantes, celles qui sont absolument monotones : sur , sur , sur .
   1. Oui : l'exponentielle réelle est strictement positive, et égale à ses dérivées.
   2. Non : est impaire et donc négative sur les négatifs.
   3. Oui : et ces fonctions sont positives sur les négatifs.
2. On considère pour . Montrer que est indéfiniment dérivable et que s'écrit sous la forme avec polynôme à coefficients réels. Étudier la parité de .
   1. On a avec . Un minimum de compétences conduit à , , , , etc...
   2. Supposée au rang , cette relation donne On obtient la récurrence , d'où la dérivabilité et .
   3. Montrons que est de la parité de . Cela est vrai pour . Supposons-le pour le rang . Alors est de la parité de , et cela ne change pas en multipliant par qui est pair. Au contraire, le produit par change la parité de : on voit donc que est de la parité de .
3. Vérifier que, pour tout , . En déduire que, pour tout et tout  
   
   
   
   
   
   
   
   On admet que ces relations restent valables pour tout .
   1. Relation triviale .
   2. On dérive fois, en appliquant la formule de Leibniz : . Il vient .
   3. Il suffit de comparer avec la question précédente pour obtenir .
4. Pour , calculer . Montrer que tous les coefficients d'un polynôme donné sont positifs.
   1. Par parité, . Pour , on trouve (récurrence) .
   2. Par suite de Q3.3.2, et donc .
5. Montrer que est absolument monotone sur .

   Fonction positive, et la dérivée est absolument monotone.

6. Montrer que la somme et le produit de deux fonctions absolument monotones sur sont encore des fonctions absolument monotones sur .

   Évidence pour la somme, formule Leibniz pour le produit.

7. Montrer qu'il y a équivalence entre `` absolument monotone sur '' et `` et absolument monotone sur ''.

   Évidence.

8. Montrer que la composée de deux fonctions absolument monotones sur est encore une fonction absolument monotone sur .

   On obtient des combinaisons à coefficients positifs. Ainsi .

9. Soient avec , et absolument monotone sur . Montrer que est prolongeable par continuité en . Montrer que la fonction ainsi prolongée (que l'on continuera de noter ) est indéfiniment dérivable en .

   Prolongement par limite monotone : est positive et croissante, et admet donc une limite à droite en . On prolonge alors et le prolongement de la dérivée est la dérivée du prolongement.

10. Soit absolument monotone sur . On pose . Montrer que . En déduire que, pour tout , la suite est convergente, et que sa limite, notée , vérifie .
    1. On a avec donc . D'où .
    2. Il est clair que la suite est croissante bornée : elle converge.