Devoir 08

corrigé

Polynômes de Laguerre

On pose et .

1. Déterminer, pour , les fonctions . Tracé (sur un même graphe).

   Il vient , , , , et enfin .

   Figure: Les polynômes à .

   

2. Montrer que , pour tout , est un polynôme de degré . Déterminer les coefficients définis par .
   1. Comme est un produit, on peut appliquer la formule de Leibniz : , d'où
   2. On a donc , ce qui montre que est un polynôme de degré . Ses coefficients sont donnés par
3. Exprimer , et en fonction de , et .
   1. De par la définition de , on a .
   2. Par dérivation, il vient et .
4. Utiliser une relation entre , et .
   1. On constate aisément que .
   2. Par application de la formule de Leibniz, on obtient . En revenant aux , il vient :
      
      
      

5. Utiliser , ainsi que la relation précédente pour obtenir une relation entre , et .
   1. On a , soit .
   2. En dérivant une fois de plus, on obtient . Avec Q3, il vient . D'où :
      
      
      

6. En déduire une relation entre , et . Transformer cette équation différentielle en une relation de récurrence entre les coefficients de . Vérifier cette relation à l'aide de Q2.
   1. En combinant dérivant (1) et en comparant avec (2) on obtient l'équation différentielle .
   2. Cette équation se réécrit en . L'action de membre de gauche sur fait baisser le degré, tandis que celle du membre de droite le conserve. On aboutit à la relation .
   3. On constate aisément que cette relation est compatible avec la formule de Q2.
7. Mettre les résultats de Q4 et Q5 sous la forme où désigne une matrice à coefficients dans . Partir de et poser les calculs aboutissants à .

   Ces résultats s'écrivent ou encore, en les écrivant en ligne, . Il vient :

   
   
   

   
   
   

8. Montrer que les polynômes n'ont pas de racines multiples (dans ).

   On voit que . Le déterminant du produit vaut donc à son tour, et les polynômes et vérifient une relation de type : ils sont premiers entre eux.

9. Pour , on pose . Trouver les valeurs de pour , ainsi que les valeurs de pour .
   1. Une ippm conduit à
   2. Quelques calculs supplémentaires donnent pour et .
10. Montrer que pour fixé et tout , on a pour une certaine constante que l'on déterminera. En déduire pour .
    1. Une intégration par parties de donne . En effet, le terme tout intégré s'écrit fois un polynôme, et donc est nul à chacune des deux bornes.
    2. En itérant le processus, on obtient , c'est à dire .
    3. Lorsque , on trouve donc , établissant pour .
    4. Pour le cas , on obtient , d'où le résultat remarquable .
11. Utiliser le résultat précédent pour montrer que les racines d'un polynôme donné sont toutes simples et situées dans .
    1. On considère le polynôme dont les racines, toutes de multiplicité , sont les racines de qui sont d'ordre impair et appartiennent à l'intervalle .
    2. Le polynôme est donc positif sur . Si l'on avait , ce polynôme serait le polynôme nul.
    3. Il faut donc que , ce qui prouve que les racines de sont toutes simples et situées dans .
12. Montrer que les racines de s'intercalent entre les racines de .
    1. Soient les racines de rangées par ordre croissant.
    2. La relation , obtenue en inversant , montre que . On a clairement .
    3. Comme et sont des racines simples consécutives de , il y a exactement une racine de vérifiant et l'on a .
    4. On en déduit que , montrant qu'il y a au moins une racine de entre deux racines consécutives de . Un argument de dénombrement montre qu'il ne peut pas y en avoir plusieurs.