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Devoir 09 (ds04)

corrigé

1. Exercice convexité

Pour tous cut, montrer que cut.

  1. Méthode ``in brute force'' : on pose cut et on dérive en cut. Il vient cut. La seule racine de cut est cut pour laquelle cut passe du négatif au positif : on a donc un point de minimum. Et le résultat suit, puisque cut.
  2. Méthode ``convexité'' : on pose cut. Alors la question devient cut et le résultat suit parce que cut, montrant que cut est convexe.

2. Polynômes de Hermite

On pose cut et, pour cut, cut.

2.1 Relations de récurrence

  1. Déterminer, pour cut, les fonctions cut. Tracé rapide sur un même graphe.


    cut

    Figure: Les polynômes cut à cut.
    cut

  2. Montrer que, pour tout cut, cut est un polynôme. Déterminer le degré, le coefficient dominant et la parité éventuelle de ces polynômes.

    1. Le plus simple est d'utiliser déjà la récurrence suggérée par la question 2.1.3. On a cut.
    2. De là : cut. Comme cut, on arrive à :
      cut (1)

    3. Montrons que cut, avec cut, cut et cut de la parité de cut. Ceci est clairement vrai de cut. La formule (1) additionne deux termes de degrés différents, et il est clair que cut et cut sont de la parité contraire à celle de cut.
  3. Utiliser la relation cut pour obtenir une expression de cut en fonction de cut et cut.

    Cf supra, formule (1).

  4. Utiliser la relation cut pour obtenir une expression analogue pour cut.

    1. On obtient cut. En divisant par cut , il vient cut. En comparant avec la relation (1), écrite pour l'indice cut, on obtient la relation :
      cut (2)

    2. Cette relation se vérifie aisément sur les exemples cut à cut.
  5. En déduire une relation entre cut, cut et cut. Transformer cette équation différentielle en une relation de récurrence entre les coefficients de cut.

    1. En dérivant la relation (1) et en soustrayant la relation (2), on obtient :
      cut (3)

    2. Ce qui se réécrit cut, conduisant à la `` descente'' cut (pour un polynôme écrit sous la forme cut. On vérifie que les coefficients de la mauvaise parité se déduisent de cut et sont nuls à leur tour, tandis que cut reste indéterminé par ces relations.
  6. Résoudre la récurrence de 2.1.5 et montrer que les polynômes cut peuvent s'écrire sous la forme cut avec cut.

    1. La formule précédente s'utilise sous la forme cut, en descendant vers cut à partir de cut. Ceci suggère une renumérotation des coefficients, en partant du terme dominant.
    2. Pour cut, la formule proposée redonne bien le coefficient dominant cut.
    3. On procède alors par descente : en supposant que cut, on obtient cut, et donc cut.
  7. Mettre les résultats de 2.1.3 et 2.1.4 sous la forme cut où cut désigne une matrice cut à coefficients dans cut. Partir de cut et poser les calculs aboutissants à cut.

    Ces résultats s'écrivent cut, ou encore cut. Il vient :



        cut cut cut cut cut cut cut cut cut
        cut cut cut cut cut cut cut cut cut
    cut cut cut cut cut cut cut cut cut cut cut
    cut cut cut cut cut cut cut cut cut cut cut



  8. Montrer que les racines des polynômes cut sont toutes des racines simples.

    1. Les matrices cut ont pour déterminant cut, et le déterminant de leur produit est encore un scalaire. Le calcul direct donne une relation de Bezout, prouvant que cut et donc qu'il n'y a pas de racines multiples.
    2. Pour cut, on obtient ainsi cut.
    3. Autre méthode : chaque matrice cut est inversible. Donc leur produit cut est aussi inversible, et on obtient cut. Une racine commune à cut et cut serait aussi racine de cut.
  9. On admettra que toutes les racines des cut sont réelles. Quelle relation y a-t-il entre les racines de deux polynômes successifs ?

    Comme cut possède cut racines réelles simples, les racines de cut viennent s'intercaller entre les racines de cut.

 

2.2 Somme des carrés des racines d'un polynôme

  1. Soit cut un polynôme de degré cut (avec cut), et cut (cut) ses racines. Exprimer la somme cut en fonction de cut et de cut.

    1. Méthode élémentaire : cut.
    2. Méthode de van Graeffe: on définit un polynôme cut par cut. Il vient cut. On voit que les cut sont les racines de ce nouveau polynôme. En effectuant cut, le résultat suit.
  2. Calculer la somme des carrés des racines des polynômes cut pour cut.

    Pour cut, cut. Pour cut, les racines sont cut et cut. Pour cut, les racines sont cut et cut : cut. Enfin, pour cut, on trouve cut.

  3. Utiliser 2.1.6 pour généraliser le résultat de la question précédente. Que peut-on en déduire pour la plus grande racine de cut ?

    1. D'après les résultats précédents, on a cut et cut. D'où cut.
    2. Si cut désigne la plus grande racine de cut, on a donc cut et cut.
  4. Soit cut un polynôme de degré cut ayant la parité de son degré (avec cut). On désigne ses racines par cut (cut). Exprimer cut en fonction de cut et de cut.

    1. Le polynôme cut de la question 2.2.1 devient cut cut. D'où cut.
    2. On applique alors la formule 2.2.1 au polynôme cut et l'on trouve cut.
    3. Autre méthode : pour cut pair, on prend cut, et pour cut impair, on prend cut. Vu la parité des cut, la fonction cut est polynomiale. Ce polynôme cut est de degré cut. Ses racines cut sont sont les carrés (comptés une seule fois) des racines non nulles de cut. Il vient alors cut et cut.
  5. Appliquer le résultat précédent aux polynômes cut. Que peut-on en déduire pour la plus grande racine de cut ? Comparer avec le majorant obtenu en 2.2.3.

    1. Appliquée aux polynômes cut, la formule donne cut d'où cut.
    2. Testons pour cut. Les racines sont cut et cut.
    3. On en déduit que la plus grande racine (soit cut) de cut vérifie cut et donc que cut.
    4. Ce résultat est plus précis que celui obtenu avec les carrés, parce que le poids relatif de cut dans cut est plus important que le poids relatif de cut dans cut (principe de la méthode de van Graeffe).

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douillet@cnam.fr
2001-03-12