corrigé
Soit 
un morphisme de groupes de 
sur 
. Soit 
un sous-groupe de 
.
Montrer que 
est un sous-groupe de
.
.
Comme est un sous groupe de , on a 
. Comme
est un morphisme de groupes, on a 
. On en déduit 
.
. Par définition de 
, on a 
.
Comme est un sous-groupe de , on a 
.
Par définition d'un morphisme, on a 
.
On voit donc que 
.
. Par définition de , on a 
.
Comme est un sous-groupe de , on a 
.
Par définition d'un morphisme, on a 
.
On voit donc que 
. est non vide et stable à la fois par 
et par passage
aux inverses : c'est un sous-groupe de .
Soit une fonction continue 
telle
que pour tout couple de réels 
, on ait :
est injective.
Supposons 
. On a alors 
et donc 
.
est strictement monotone.
avec 
et 
.
En pareil cas, les points de 
seraient atteints deux fois. est non bornée et bijective.
croissante. Sinon, on examine 
qui est alors croissante. 
, on a 
, donc
. D'où 
.
, on a 
, donc
. D'où 
. en une fonction continue 
telle que 
et 
.
La propriété des valeurs intermédiaires nous donne 
et donc 
.
(avec 
) tel que 
.
tel que 
.
On pose 
. On a donc 
et 
. Comme 
est continue, elle atteint
la valeur 
, et donc il existe un tel que .
croissante. Peut-on avoir 
ou 
?
On a 
.
Avec les hypothèses supplémentaires, cela donne 
,
soit encore 
.
Comme chaque parenthèse est négative ou nulle, il faut que chaque parenthèse
soit nulle. On a donc 
et 
.
croissante. Déterminer la restriction
de au segment 
.
Soit . Il faut 
et donc 
et en même temps il faut 
et donc 
. On en déduit 
.
décroissante. Déterminer sa restriction à .
On pourra poser 
.
Posons 
. Il est clair que 
est une bijection de sur lui-même. Il est immédiat que 
est croissante et que 
. D'après la question
précédente, on a alors 
.
croissante.
réel, on a 
,
alors 
.
On a, pour , et
donc 
. De là 
et donc .
réel, on a on a 
,
alors 
.
On a, pour 
, 
et
donc 
. Divisant par un négatif,
il vient 
et donc 
.
l'ensemble des 
tels que 
.
Montrer que l'on se retrouve dans l'un des deux cas précédents, ou bien que
est un intervalle non vide.
La fonction 
est continue. Elle ne
peut changer de signe qu'en s'annulant. Par conséquent 
conduit
à l'un des deux cas précédents. La question Q4c montre que 
implique 
. Par conséquent est
un intervalle, et on voit aisément que cet intervalle est un ensemble fermé
de 
.
Dans ce problème, on note de la même façon un polynôme et la fonction
polynôme associée. On désigne par 
l'ensemble des nombres complexes
non nuls. Par convention : 
. On considère
l'application 
.
:
est surjective.
On résoud 
. Il vient 
et 
.
Pour chaque valeur de 
, on trouve deux valeurs de 
. Le
produit de ces deux valeurs vaut 1. Ces deux valeurs sont distinctes à moins
que 
(
) ou que 
(
).
.
Déterminer l'image 
de 
par . Montrer que l'image
réciproque de est .
On a 
.
Par conséquent 
.
Soit réciproquement 
. On sait
que les deux racines de 
sont les nombres 
et 
, montrant que 
.
L'autre inclusion étant triviale, on a l'égalité.
.
Montrer que l'application 
est une bijection.
La question Q1a montre que 
implique
ou bien 
. Cette deuxième relation étant impossible
entre éléments de 
, l'application est injective. Réciproquement,
un nombre 
possède deux antécédents 
.
Si l'on avait 
on aurait 
. Et comme
, on a soit 
soit 
montrant que est surjective.
, il existe un unique
polynôme 
tel que 
et que 
.
Il est clair que 
.
Pour l'existence, on pose 
, 
. La récurrence 
définit visiblement une famille de polynômes avec 
et 
. Pour
l'unicité : si un deuxième polynôme (soit 
) vérifie la relation
fonctionnelle pour tout 
, alors on a 
pour tout 
. Par prolongement des identités,
on a donc l'identité des deux polynômes formels.
pour 
. Déterminer le degré
de . Étudier la parité de .
Il est immédiat que 
. On
a donc , , 
, 
,
, 
et
est de la parité de .
, on considère (dans 
) l'équation
algébrique 
. Résoudre
cette équation. Vérifier que 
admet racines
réelles distinctes, et que (pour ) les racines de 
s'intercalent
entre les racines de 
.
Comme 
, on voit que
(pour 
) le polynôme est le polynôme unitaire ayant
pour racines le double des racines de 
. Soit 
pour 
. Ainsi, pour 
, a-t-on 
,
et 
.
Étant donné un nombre complexe 
et un entier 
,
on considère (dans ) l'équation algébrique 
.
n'appartient pas à l'intervalle réel 
.
Montrer que 
admet racines distinctes.
Supposons 
. Il existe alors 
tel que 
,
et on a donc 
.
Nous pouvons donc définir 
et 
.
La relation 
devient alors 
,
soit 
et donc 
.
Comme un nombre 
possède racines n-ièmes
distinctes dans . Et la conclusion suit, car est une bijection
: des distincts conduisent à des 
distincts.
et on pose 
.
Exprimer les racines de en fonction de 
.
Pour quelles valeurs de l'équation
admet-elle des racines doubles ?
. Il existerait 
avec 
.
Alors 
. Comme 
,
on aurait 
ce qui est impossible.
, soit 
,
ainsi que 
et 
,
soit . Il vient 
et donc 
. 
est en même temps racine de 
. Or les racines
de 
correspondent à des angles multiples de 
.
Par conséquent, le cas se produit pour 
et 
soit 
. la fraction rationnelle
.
On a vu en Q3 que les pôles de sont les
. On applique la formule des pôles
simples, qui donne 
.
Il est aisé de voir que 
.
La décomposition demandée est donc :
