Devoir 11 (ds05)

corrigé

1. Groupes

Soit .

1. On considère sur la loi définie par . Montrer que est un groupe commutatif.
   1. Il s'agit du produit cartésien des groupes et . Il y a opération coordonnée par coordonnée, prouvant la stabilité, l'associativité et la commutativité. Le neutre est et le neutralisateur de est .
   2. Rappel : un élément neutre est défini par la propriété . Il est donc utile de démontrer la commutativité avant d'examiner l'existence d'un neutre et des neutralisateurs.
2. On considère sur la loi définie par . Est-ce que est un groupe ? Est-ce que est un anneau ?
   1. Une démonstration efficace de ce que est un groupe est obtenue en considérant la bijection . On a . En particulier, le neutre est et le neutralisateur de est .
   2. ne peut donc pas être un anneau : le neutre de la première loi serait absorbant et non pas neutre pour la deuxième loi. D'ailleurs, un calcul immédiat montre qu'il n'y a pas distributivité : commence par tandis que la forme développée commence par .
3. Soit . On définit par . On utilisera la notation lorsque cela est possible. Montrer que est un morphisme de groupes . Pour quelles valeurs de l'application est-elle un isomorphisme ?
   1. Il est clair que . Quant à , cela provient immédiatement de .
   2. On obtient un isomorphisme lorsque est bijective, autrement dit pour .
4. On pose . Montrer que est un endomorphisme de groupes . Calculer . Que peut-on en déduire pour ?
   1. Calculons . On a et donc , montrant le morphisme.
   2. On voit que . Or, sur les ensembles considérés, les fonctions et sont réciproques l'une de l'autre. On a donc , prouvant que est bijective.

2. DL et limites

Déterminer la limite de lorsque pour .

1. On pose et il vient
   
   
   
   

2. Les substitutions , composées avec donnent , d'où , qui conduit à
   
   
   
   

3. Polynômes de Bernoulli

Dans ce qui suit, on a et . On définit une suite de polynômes par et par la récurrence

et l'on appelle nombre de Bernoulli d'ordre le nombre .

1. Montrer que et que
2. Vérifier que et montrer que, pour , .
3. Montrer par récurrence sur que . En déduire que, pour , .
4. On définit . Montrer que . Montrer que .
   Pour impair, montrer que . En conclure que, pour tout , .
5. En déduire que, pour , . Prouver que les fonctions sont paires ou impaires avec . En déduire que, pour tout , .
6. Montrer que les polynômes sont pairs ou impairs avec et vérifient .
7. Montrer que et que, pour tout , implique . Montrer que implique en outre (considérer ). En conclure que .
8. On suppose que et que n'a qu'une racine, simple, sur . Montrer qu'alors pour , puis que et que n'a qu'une racine, simple, sur . Montrer qu'alors pour , puis que et que n'a qu'une racine, simple, sur .
9. En déduire que, pour tout , est du signe de .
10. Montrer que, pour , et que, pour , .
11. Utiliser Q7 pour montrer que, pour , .
    Et que .