Devoir 12

Date: corrigé

1. Polynômes de Lagrange

On se place dans rapporté à sa base naturelle . La lettre désigne l'un des éléments de l'ensemble .

1. Soient , , et . Montrer que ces applications linéaires forment une base de .
   1. On sait que, en dimension finie, . Il suffit donc de montrer que la famille est libre, puisqu'elle a la bonne taille.
   2. Soit . Supposons et appliquons cette forme linéaire au polynôme . On a visiblement avec . Par conséquent .
   3. On procède de même pour les autres coefficients, prouvant que la famille est libre.
2. Déterminer les polynômes , , et tels que pour et pour .
   1. Il est immédiat que .
   2. On a donc , ,
      et .
   3. On vérifie que . En effet le polynôme vaut en quatre points, alors que son degré est au plus.
3. Montrer que les polynômes , , et forment une base de et indiquer comment se décompose un polynôme sur cette base.
   1. Soit . On a . Si donc , les sont nécessairement nuls : la famille est donc libre. Comme elle a la bonne taille, c'est une base de .
   2. La relation précédente donne les coefficients : . Autrement dit les sont les applications coordonnées associées à la base formée par les polynômes de Lagrange.
4. On considère la matrice . Déterminer le polynôme caractérisé par , .
   1. La méthode d'élimination de Gauss montre que les familles sont libres pour , et donne une relation de liaison pour . On obtient donc un polynôme de degré : tel que .
5. On considère les matrices . Montrer que ces matrices vérifient . On considère les applications linéaires dont les matrices dans la base canonique de sont les . Déterminer leurs images et leurs noyaux.
   1. On obtient
      
      
      . Il suffit de calculer .
   2. Mais on peut aussi remarquer que s'annule en quatre points alors qu'il est de degré au plus . On a donc .
   3. Les applications sont des projecteurs de rang . Le sous-espace est la droite vectorielle et le sous-espace est le noyau de , i.e. l'hyperplan engendré par les trois autres polynômes.
6. Montrer que la matrice est une combinaison linéaire des matrices .

   La remarque Q1.2.c montre que .

2. Polynômes de Bernoulli (suite)

On admet l'existence d'une fonction , indéfiniment dérivable par rapport à , et telle que pour un ``assez grand'' on ait .

1. Comment se traduit, en termes de fonction , la relation pour ?

   On obtient .

2. Comment se traduit, en termes de fonction , la relation ?
   1. Soit . On appelle la dérivée du polynôme considéré comme élément de , c'est à dire comme un polynôme en dont les coefficients sont des polynômes en .
   2. On a parce que les sont uniformément bornés (à fixé et variable) : telle est la raison du facteur
   3. On a multiplie les deux membres de la relation par et on somme de à . Il vient . Le membre de droite vaut et le membre de gauche est parce que .
   4. On en déduit que
      
      

3. On pose . Quels sont les coefficients du développement limité de ?

   Par définition, et donc .

4. Comment se traduit, en termes de fonction , la relation pour ? En déduire la valeur de .
   1. Pour , on a et pour , .
   2. On a donc . Soit . Le membre de droite ressemble fortement au produit de par .
   3. Par troncature à l'ordre , on trouve :
      
      

5. Vérifier que la fonction remplit les conditions Q1 et Q2. Poser les calculs permettant d'obtenir le développement limité en , au voisinage de et à l'ordre de cette fonction.
   1. (Hors sujet) : L'équation différentielle (1) se résoud aisément en tant qu'équation en paramétrée par : on a , la fonction décrivant ``les conditions initiales'' du problème paramétré par . La relation (2) fournit précisément la relation voulue : .
   2. En tout état de cause, on constate que la fonction proposée vérifie (1) et (2). Pour ce qui est de la relation Q1, on a .
   3. Il faut poser le calcul comme quotient de par . Ces deux quantités étant équivalentes à , on obtient un DL4 du quotient en prenant un DL4 des deux facteurs, soit et .
   4. On retrouve les polynômes du devoir 11 :
   

6. Traduire chacune des relations restantes du problème 11 en une relation sur , et vérifier cette relation sur la fonction de la Q5.
   1. Par exemple conduit à . Or vaut facteur de qui est nul. D'où pour tout .
   2. En remarquant que est paire, on obtient .
   3. Les fonctions ont la parité de car .
   4. De même conduit à ... qui se révèle être nul. D'où pour tout .
   5. On a . On en conclut que , soit .
   6. On a . On a donc lorsque pour . De même est impaire. On en déduit lorsque .