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Devoir 13 (ds06)

corrigé

1. Problème

Soit cut un cut-espace vectoriel, différent de cut. On ne suppose pas que cut est finie. On appelle cut l'ensemble des projecteurs de cut, autrement dit cut.

1.1 Un exemple

Dans cette partie on prend cut et on définit cut par cut.

  1. Calculer cut et conclure.

    1. Posons cut, cut et cut. On calcule cut, cut et cut, montrant que cut.
    2.   cut
      cut cut
  2. Déterminer une base de cut.

    L'équation cut se réécrit cut, cut et cut. Il vient cut et cut : ces deux équations indépendantes déterminent un espace de dimension 1 et l'on a cut avec cut.

  3. Déterminer une base de cut.

    1. L'équation cut se réécrit cut, cut et cut. Il n'y a qu'une seule équation indépendante cut, déterminant un espace de dimension 2 (on vérifie que cut). Un choix possible est cut avec cut et cut.
  4. Diagonalisation (hors-sujet)

    1. On a donc cut et cut vaut cut.
    2.   cut cut
      cut cut cut

1.2 Une relation d'ordre

  1. Montrer que si cut alors cut et cut.

    1. Si cut alors cut et cut. Si cut il est évident que cut. D'où l'égalité des deux ensembles.
    2. On pose cut. On a cut et donc cut est un projecteur. La relation cut équivaut à cut et donc à cut.
    3. La relation cut montre que cut. Si l'on suppose cut on a cut et donc cut : la somme est directe.
  2. Montrer que la relation cut définie par cut est un ordre sur cut.

    1. Réflexivité : si cut alors cut prouvant cut.
    2. Transitivité : si cut et cut alors cut. De même pour l'autre relation.
    3. Antisymétrie : cut et cut conduit immédiatement à cut.
    Dans les questions 3, 4, 5 ci-dessous on suppose que cut et que cut. On définit alors cut et cut.

    L'ordre obtenu n'étant pas un ordre total, on s'intéresse aux bornes supérieure et inférieure d'une famille de deux projecteurs qui commutent entre eux.

  3. Montrer que cut et cut.

    x

  4. Montrer cut et vérifier cut et cut. Montrer que cut.

    1. Les applications cut commutent entre elles. On a donc cut prouvant cut.
    2. On a cut c'est à dire cut. De même cut.
    3. Si cut alors cut et donc cut. De même l'autre, prouvant cut.
    4. Si cut alors cut. De même cut, prouvant cut (i.e. cut).
  5. Montrer cut et vérifier cut et cut. Montrer que cut.

    1. Les quatre applications cut commutent entre elles. On a cut. De même cut. Et donc cut.
    2. On a donc cut prouvant cut.
    3. Les deux paragraphes précédents montrent cut et cut.
    4. Si cut alors cut et donc cut. De même l'autre, prouvant cut.
    5. Si cut alors cut. De même cut, conduisant à cut, qui est cut.
  6. On considère, pour cut fixé, l'application cut définie par cut. Montrer que cut est un endomorphisme de cut. Montrer qu'il y a équivalence entre ``cut'' et ``cut et cut sont stables par cut''.

    1. Il est donné que cut. Il reste à montrer la linéarité. Pour cut et cut on a cut prouvant cut. De même cut.
    2. Supposons cut (projecteurs ou non). Si cut alors cut. D'où cut et donc cut. Si cut alors cut et donc cut.
    3. Supposons maintenant cut et que cut et cut sont stables par cut. Pour cut on a cut et donc cut. Par stabilité de cut et de cut, on a cut (cut) et cut (cut). Donc cut (il faut absolument que cut soit un projecteur).

1.3 Projecteurs tels que cut.

Dans cette partie, on considère deux projecteurs cut non nuls, distincts et qui de plus vérifient cut pour deux réels cut fixés.

  1. Dans cette question on suppose cut et cut.

    1. En déduire que cut.
    2. Montrer que cette supposition est absurde.
  2. Dans cette question, on suppose cut et cut.

    1. Montrer que cut.
    2. En déduire cut puis cut.
    3. Montrer, dans un ordre ou un autre, que cut et cut et cut.
    4. Établir directement que cut implique cut.
  3. Dans cette question, on suppose cut.

    1. Montrer, dans un ordre ou un autre que cut et cut et cut et cut.
    2. Établir directement que cut implique cut.
On part de la relation cut. Le calcul de cut conduit à cut. Le calcul de cut et de cut conduit à
cut cut cut (1)
cut cut cut (2)

  1. Si l'on suppose cut et cut, la relation (1) donne cut et donc cut, contrairement à l'hypothèse. Par antisymétrie, cut et cut conduirait à cut, qui est également impossible. On a donc : ou bien cut ou bien cut et cut.
  2. Si l'on suppose cut et cut les relations (1) et (2) conduisent à

    cut

    1. On voit que cut : d'où cut. De même cut.
    2. Sous la seule hypothèse que cut, prenons cut et posons cut. Comme cut a cut. On a donc cut et de même cut.
    3. Lemme : deux projecteurs non nuls sont ou bien égaux ou bien indépendants. On aurait cut. D'où cut. Donc cut (cut) et cut est exclus (cut).
    4. On a donc cut, soit cut. Comme cut, on a donc cut et cut.
  3. Si l'on suppose cut et cut les relations (1) et (2) conduisent à

    cut

    1. On voit que cut : d'où cut. De même cut.
    2. Sous la seule hypothèse que cut, prenons cut et posons cut. On a cut, d'où cut. On a donc cut et de même cut.
    3. On a donc cut. soit cut. Comme cut, on a donc cut et cut.

2. Exercice

Soient cut, cut, cut la base canonique de cut et cut l'endomorphisme de cut tel que cut.

2.1 Diagonalisation d'un endomorphisme

  1. Déterminer l'image par cut du vecteur cut.

    On a cut.

  2. Déterminer cut ; en préciser une base.

    Un élément de cut vérifie cut. Ce système d'équations se réduit aux deux équations indépendantes cut, montrant que cut est de dimension 1. On constate que cut en fait partie, et donc cut.

  3. Déterminer cut ; en préciser une base.

    On constate que cut. Le fait que le système cut se réduise aux deux équations indépendantes cut montre que cut est de dimension cut. On a donc cut.

  4. On pose cut, cut et cut. Vérifier que cut est une base de cut. Déterminer (sans calculs !!!) cut.

    1. Le fait que cut, cut et cut soient des vecteurs propres relatifs à des valeurs propres différentes montre que ces vecteurs sont indépendants. Supposons en effet que cut. Il vient cut et donc cut. On obtient donc cut.
    2. La matrice voulue est évidemment cut.
  5. Écrire la matrice cut de passage de la base cut à la base cut. Poser les calculs (pivot de Gauss) de l'inverse de cut.

    On a cut. L'algorithme de Gauss donne :

    cut cut cut cut cut
    cut cut cut cut cut

  6. Écrire le lien matriciel entre cut et cut, puis entre cut et cut. Préciser la valeur de cut.

    1. On a donc cut c'est à dire

      cut

    2. Puis cut.

2.2 Commutant d'une matrice

On cherche les matrices cut vérifiant cut. On pose cut , avec cut la matrice du 2.1.5.

  1. Montrer l'équivalence entre cut et cut.

    La conjugaison cut est un isomorphisme pour la structure multiplicative de cut. Autrement dit, on a cut et cut équivaut à cut.

  2. Caractériser les matrices cut telles que cut (poser les calculs pour cut).

    Les seules matrices qui commutent avec une matrice diagonale à éléments deux à deux distincts sont les matrices diagonales. En effet, un élément cut avec cut se retrouve multiplié par cut d'un côté, et par cut de l'autre : il faut que les éléments non diagonaux soient nuls.

  3. Montrer que cut est un sous-espace vectoriel de cut. Que pouvez-vous dire de sa dimension ?

    1. Il est clair que cut est non vide (cut) et stable par combinaisons linéaires : c'est un sous espace vectoriel de cut.
    2. Comme il est isomorphe aux matrices diagonales, on trouve cut.

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douillet@cnam.fr
2001-03-12