Devoir 14

Date: corrigé

1. Suites et séries dans

Soit . On posera .

1. Montrer que
   
   

   Donner des exemples d'égalité, et de non-égalité pour les trois dernières relations.

   1. On a , la réciproque est évidente.
   2. Puis .
   3. De , on déduit et .
   4. Posons . Alors d'où .
   5. On a et pour , une récurrence conduit à .
   6. Égalité pour , avec identité, ``rien que des ''. Non égalité pour et pour .
2. On dira, par définition, que la suite matricielle converge vers pour si chacune des suites formées par les éléments d'une place donnée converge vers en tant que suite réelle. Montrer que la suite matricielle converge vers si et seulement si la suite réelle converge vers .
   1. Double implication. Si , cela s'applique à chaque en particulier.
   2. Réciproquement, s'il existe un pour chaque place de la matrice, il suffit de poser pour prouver .
3. Soit alors, pour chaque entier, , la matrice dont tous les éléments sont nuls sauf les éléments tels que , et qui, eux, valent . ( comme Jordan). Déterminer les produits pour (on commencera par déterminer l'action de sur une matrice quelconque dans chacun des produits et ).
   1. L'action à gauche pousse les lignes d'un cran vers le haut, l'action à droite, pousse les colonnes d'un cran vers la droite. Dans les deux cas, une rangée de apparaît.
   2. On a donc , avec la convention lorsque .
4. Soit le sous-espace vectoriel de engendré par les . Quelle est sa dimension ? Montrer que est en fait une sous algèbre de . Existe-t-il des diviseurs de zéro dans ? Quels sont les éléments inversibles ?
   1. Soit . Il est clair que : les sont indépendants ().
   2. On a et de plus, est clos pour la multiplication : c'est donc une sous-algèbre de .
   3. Tout élément de s'écrit pour un certain polynôme . Les produits de tels polynômes peuvent ``monter en degré'', mais le résultat est à prendre modulo puisque .
   4. Les éléments inversibles correspondent aux polynômes tels que . Cela est évident par .
5. On se limite désormais aux matrices qui peuvent s'écrire . Déterminer, pour , les valeurs de et de . En déduire une condition nécessaire et suffisante pour la convergence vers de la suite .
   1. On peut appliquer la formule du binôme et on a donc . Le point crucial est que ne dépasse pas (au delà est nul).
   2. Il est nécessaire que pour que tende vers 0.
   3. Réciproquement . En passant aux logarithmes, on voit que ( est une constante). On a donc .
6. On considère la suite de matrices définies par . Donner la décomposition de ces matrices dans la base des . Montrer que ces coefficients forment autant de séries réelles convergentes, et en donner la limite. Examiner le cas particulier .
   1. On a donc .
   2. En prenant , il vient
      

7. En conclure l'existence d'une matrice telle que quand .

   On voit que avec .

.../...

2. Matrices hamiltoniennes

Soit . On note l'espace vectoriel complexe des matrices colonnes d'ordre à coefficients dans . On note l'espace vectoriel complexe des matrices carrées d'ordre à coefficients dans . On note la matrice de définie par où et sont les matrices d'ordre , respectivement nulle et unité. Pour , on pose . On remarquera que cette quantité est une matrice à une ligne et une colonne que l'on peut identifier à un complexe.

1. Calculer et . En déduire que est inversible et que . Calculer .
   1. On voit que et que .
   2. On en déduit : .
   3. Le déterminant vaut . En effet, on transpose les colonnes et , ce qui fait transpositions. On a alors .
2. Vérifier que , on a .
   1. On a donc .
   2. La transposée d'un nombre n'est autre chose que ce nombre lui-même.
3. Soit . Montrer que implique .
   1. Soit . On prend . On a alors .
4. Soit . Montrer qu'il existe une et une seule matrice de , notée , telle que . On exprimera en fonction de et . Montrer, pour toutes matrices , les relations .
   1. On veut obtenir pour tous .
   2. En prenant successivement pour (resp. ) ``des partout, sauf un à la place '' (resp. ) on obtient l'égalité élément par élément des matrices et . D'où l'unicité.
   3. On a donc et
      

   4. Puis .
   5. La formule d'involution s'obtient par .
   6. La formule du produit est .
5. On appelle matrice hamiltonienne toute matrice telle que et on note l'ensemble de ces matrices. Montrer que si, et seulement si, il existe une matrice symétrique telle que . Montrer que est un sous-espace vectoriel de . Quelle est sa dimension ?
   1. On a donc . D'où et puisque . On a donc est symétrique. Et enfin .
   2. On a aussi l'équivalence avec , la matrice étant symétrique.
   3. Comme l'ensemble des matrices symétriques de taille est un espace vectoriel de dimension et que l'application linéaire est bijective, l'image est aussi un espace vectoriel, et elle a la même dimension.
6. Soit . Montrer que le polynôme caractéristique de est pair. En déduire que la trace de est nulle. Montrer que, si , cette condition sur la trace est suffisante pour que .
   1. De on déduit et finalement . Mais alors : le polynôme caractéristique est pair, et la trace est nulle.
   2. Si et si on a . Posons , il vient et on a donc .
7. Étant donné , on considère la matrice définie par . Montrer que . Vérifier que est valeur propre de . Déterminer toutes les valeurs propres de et les sous-espaces propres associés.
   1. On voit bien que est symétrique. Donc .
   2. Il est aisé de voir que est le produit des deux polynômes caractéristiques. Les valeurs propres sont donc les 4 nombres .
   3. Comme ces valeurs sont toutes distinctes, il existe une base de vecteurs propres. Posant on obtient .