home <- up ->

Devoir 15 (ds07)

corrigé

1. Exercice

Dans la base canonique de cut, cut a pour matrice cut.

  1. Déterminer les sous-espaces cut et cut. Montrer qu'ils sont supplémentaires dans cut.

    1. On a cut et cut donc le rang est cut.
    2. On obtient cut en résolvant cut (la troisième équation étant dépendante des deux autres (rang=2). On trouve cut et cut.
    3. On obtient une base de cut en prenant deux colonnes indépendantes de cut, par exemple les deux premières : cut.
  2. Déterminer une base de cut qui soit réunion d'une base de cut et d'une base de cut. Donner la matrice de cut dans cette base.

    1. On constate cut et donc cut est un projecteur. Les espaces cut et cut sont donc supplémentaires, et on a cut.
    2. Une matrice de diagonalisation est fournie par Q1. On peut aussi prendre cut. On vérifie que cut.

2. Exercice

Soit cut un cut-espace vectoriel de dimension cut, cut une base de cut et cut l'endomorphisme défini dans cette base par la matrice cut.

  1. Déterminer les nombres cut tels que cut.

    On a cut et donc cut.

  2. Pour chaque cut, déterminer le vecteur cut dont la composante sur cut vaut 1.

    1. On résout chacun des systèmes correspondants qui sont tous de rang 2. En effet, les valeurs propres étant toutes distinctes, il existe une base de vecteurs propres.
    2. On trouve cut, cut et cut.
  3. Écrire la matrice cut telle que cut. Montrer que ces vecteurs cut forment une base de cut. Calculer l'inverse de cut (donner les détails du calcul).

    1. On a donc cut.
    2. La famille cut forme une base parce que des vecteurs propres correspondant à des valeurs propres différentes sont indépendants. L'existence de cut confirmera cette indépendance.
    3. La méthode attendue était le calcul de la matrice complémentaire. On pouvait aussi utiliser le pivot de Gauss. Ou même, dans ce cas particulier, utiliser les polynômes de Lagrange. Il vient cut
  4. Quelle est la matrice décrivant cut dans la base cut ?

    Q2 donne cut . On peut le vérifier en calculant cut.

  5. Pour un vecteur cut, on appelle cut l'espace engendré par les images successives de cut, c'est dire par cut etc. Quels sont les vecteurs cut tels que cut ?

    1. Un vecteur cut s'écrit cut. On a donc
      cut et cut.
    2. Comme cut est inversible, cut est aussi la dimension de cut c'est à dire le nombre de cut nuls.
  6. Donner une équation du plan cut.

    1. On cherche une forme linéaire non nulle s'annulant sur cut. On peut donc l'obtenir par coefficients indéterminés, en résolvant cut.
    2. Il est bien plus efficace d'écrire que le plan est l'ensemble des vecteurs cut tels que cut sont coplanaires. Il vient cut, soit cut.
  7. On pose cut, cut et cut. Donner l'expression factorisée du déterminant cut ayant les cut pour colonnes. Comparer avec Q5.

    1. On a cut.
    2. Il vient cut. Les facteurs sont les équations des plans déterminés par deux vecteurs propres. On retrouve les lignes de cut (les formes en ligne et les vecteurs en colonne).

3. Problème

3.1 Première partie

Soit cut la matrice tridiagonale de taille cut telle que cut pour les éléments diagonaux, cut pour les éléments sous diagonaux (i.e. tels que cut) et enfin cut ailleurs. Ainsi cut. On pose cut.

  1. Donner les valeurs de cut, cut et cut. Détailler le calcul de cut.

    1. On a cut, cut et cut.
    2. On a cut (Sarrus) et donc cut.
  2. Établir une relation de récurrence entre les polynômes cut.

    1. En développant selon la dernière ligne, on obtient cut cut
    2. En développant le deuxième déterminant par rapport à la dernière colonne, il vient
      cut (1)

  3. Soit cut un entier fixé (cut). On définit cut par cut. Exprimer le développement limité, au voisinage de cut et à l'ordre cut, de cut et de cut en fonction de cut.

    1. On a cut. En effet, cette somme peut se réécrire sous la forme cut.
    2. De même, cut. On a en effet l'égalité polynomiale : cut.
  4. En déduire que cut.

    1. Il suffit de multiplier l'équation (1) par cut et de sommer de cut à cut. On obtient cut.
    2. En réorganisant cette équation, on retrouve la formule proposée :

      cut (2)

  5. Utiliser la relation de récurrence Q2 pour déterminer le coefficient constant des polynômes cut. Retrouver cette valeur en utilisant la valeur de cut.

    1. L'équation (1) donne cut : le terme constant est indépendant de cut. Il vaut donc cut.
    2. On retrouve cela en portant cut dans (2) : cut. On sait que cette expression se développe en cut
  6. Utiliser la relation de récurrence Q2 pour déterminer le coefficient dominant des polynômes cut. Comment retrouver cette valeur en utilisant la valeur de cut ?

    1. Analyse du problème : si l'on suppose que les coefficients de degré cut ne se neutralisent pas dans l'équation (1), on obtient cut et la récurrence part de cut, cut.
    2. L'équation caractéristique est cut. Comme il y a racine double, l'ensemble des solutions est cut. Vu les conditions initiales, on a cut.
    3. Synthèse : on montre par récurrence que cut.
    4. Le coefficient dominant d'un polynôme est le terme constant du polynôme palindromique. Si cut, alors cut. On s'intéresse donc à cut.
    5. On a cut. On y porte cut, obtenant cut. On sait que cette expression est développable, son développement étant alors la dérivée de cut, soit cut
  7. Quelle est la somme des racines du polynôme cut.

    1. La somme des racines de cut vaut cut.
    2. Or cut est le coefficient de cut dans cut. On repart de cut, que l'on dérive, puis évalue en cut. On obtient cut et donc cut.
    3. Conclusion cut.

3.2 Deuxième partie

Soit cut la matrice carrée de taille cut dont l'élément générique est cut. Ainsi, cut. On pose cut.

  1. Que vaut cut ? (On pourra utiliser des combinaisons de colonnes).

    1. On soustrait à chaque colonne la colonne précédente. On fait donc agir la matrice de Gauss cut, obtenant cut.
    2. On voit donc cut et si cut cut.
  2. Donner les valeurs de cut, cut et cut. Détailler le calcul de cut.

    1. On voit que cut, cut et cut.
    2. On obtient cut. En effet cut, cut et cut.
  3. Établir une relation de la forme cut, les quantités cut et cut étant des polynômes en cut de forme simple et de degré constant.

    1. La matrice initiale étant symétrique, il est intéressant de calculer cut. On obtient cut. Et de là

    2. cut (3)

  4. Soit cut. Utiliser une méthode analogue à Q.2.1.3 pour déterminer cut.

    1. On a cut.
    2. On a également cut.
    3. D'où cut et finalement :
      cut (4)


home <- up ->

douillet@cnam.fr
2001-03-18