Devoir 16

Date: corrigé

1. Transformation de Laplace et polynômes de Laguerre

Soit le -ev des fonction polynomiales et, pour , .

1.1 Formule de Rodriguès pour les polynômes de Laguerre

1. Pour , montrer l'existence et calculer la valeur de .
   1. On a soit et donc .
   2. Comme est positive et majorée (au delà de ) par dont l'intégrale est connue pour exister, on a l'existence de .
   3. Une succession d'intégrations par parties donne alors
2. Soit l'ensemble des de classe telles que l'intégrale existe. Montrer que est un sous-espace de et que est un sous espace de .
   1. Pour les dilatations : .
   2. Pour on a et donc . On en déduit que, pour , on a la majoration : .
   3. On en déduit .
   4. Il est clair que et on vient de montrer que est clos par combinaisons linéaires : c'est un sous-espace vectoriel de .
   5. La question Q1 montre que contient une base de l'espace : on a donc .
3. Montrer l'existence, pour toutes , de l'intégrale . Montrer que cette application est symétrique, linéaire en chaque variable et vérifie : ( est un produit scalaire). On pose .
   1. L'intégrande n'est pas une fonction positive : il faut donc changer de technique de preuve.
   2. On a . Or chacune des intégrales de droite converge lorsque . Celle de droite est donc à son tour convergente, montrant l'existence de .
   3. La symétrie et la bilinéarité de ne sont autres que la commutativité et la distributivité de l'addition.
   4. On sait qu'une fonction continue, positive et d'intégrale nulle sur un intervalle de mesure non nulle est identiquement nulle. On applique cela à .
4. Rappeler pourquoi est polynôme. En donner le degré et le coefficient dominant.
   1. On considère l'opérateur . On a , conservant le caractère polynômial, le degré et changeant le signe de .
   2. Or : est donc un polynôme, avec et .
5. Soit . Exprimer en fonction de . En déduire la valeur de lorsque , ainsi que la valeur de .
   1. Par application des définitions, on a qui se transforme par ipp en
   2. En supposant on a donc .
   3. Par ailleurs pour (il reste des en facteur).
   4. On en déduit .
   5. De là lorsque . Par symétrie dès que .
   6. Enfin . Comme , il reste : les fonctions sont orthonormées.
6. Montrer que les racines de sont distinctes, réelles et positives.
   1. Soit le polynôme unitaire ayant pour racines simples les racines de qui sont à la fois positives et d'ordre impair. Alors est positif sur .
   2. Si l'on avait , on aurait et serait la fonction nulle. On en déduit que les racines de sont distinctes, réelles et positives.

1.2 Relation de Parseval-Bessel

1. Pour et , montrer que . Que vaut ?
   1. Il s'agit d'une inégalité de convexité. En effet est positive pour tout . On en déduit que le discriminant est négatif ou nul, soit .
   2. Comme , on obtient la formule voulue.

2. On pose et on définit par . Montrer que cette application est un projecteur et que, de plus, .
   1. On arrive effectivement dans puisque et que .
   2. Pour démontrer que il suffit donc de montrer que chacun des () est invariant par .
   3. On a lorsque et , prouvant .
   4. Avec ce qui précède, il est clair que défini par est un projecteur et que . Nous allons montrer que et la formule demandée en résultera par linéarité.
   5. On a . D'après les définitions et , cette quantité est nulle.
3. En déduire puis que converge pour .
   1. Posons et . On a . Et donc .
   2. La somme est donc bornée par : elle converge.
4. Illustrer ces résultats en prenant , .
   1. Une primitive de est visiblement . On en déduit . Donc , puis (ipp) , et enfin . On a donc .
   2. On a d'une part et d'autre part . Comme , on voit que . Et donc est la limite, et non un simple majorant.
   3. On peut illustrer cela en comparant la fonction avec ses projections : la coïncidence initiale s'améliore, mais le décrochage est de plus en plus brutal.

   Figure: Projections 0, 4, 8 du sinus sur les polynômes.

   

5. (Hors sujet) Développement générateur
   1. Posons (développement générateur). La relation de récurrence (cf devoir 8) se traduit en une équation différentielle portant sur .
   2. Avec quelques calculs, on obtient les relations , et .
   3. On multiplie la relation de récurrence par , on somme et on utilise les relations précédentes. Il vient alors : , avec pour condition initiale : .
   4. Un examen de l'équation conduit à poser . Par substitution, on obtient . En résolvant l'équation à une variable, il vient et de là, . Utilisant la condition initiale, on obtient finalement .
   5. On calcule alors . L'existence se montre comme pour . Deux intégrations par parties successives donnent . En reportant, on obtient donc .

1.3 Transformation de Laplace

1. On pose . Montrer que est définie pour tout lorsque , et que définit une fraction rationnelle.
   1. L'existence vient de . Il existe donc un tel que (fonctions positives !!!).
   2. Un calcul immédiat (changement de variable ) donne alors .
   3. Comme un polynôme est une combinaison linéaire de monômes, on a effectivement l'existence de et l'appartenance à .
2. Calculer l'image Laplace des polynômes de Laguerre (prendre des exemples et généraliser).
   1. Pour , on a : , , .
   2. Par descente sur zéro : se transforme en intégrant par parties, donnant et ainsi de suite jusqu'à (les termes tout intégrés sont nuls parce que est en facteur).
   3. Autre méthode, utilisant le développement générateur. On a . Le développement de cette quantité donne les images cherchées :
3. En déduire l'image Laplace de .
   1. La multiplication de la fonction par une exponentielle, induit une translation de la fonction . Autrement dit .
   2. On a donc .
4. On pose . Que vaut alors ?

   On trouve , donnant l'image Laplace inverse d'une fraction rationnelle.

5. On rappelle que (Legendre). Montrer que est une fraction rationelle qui se factorise remarquablement (commencer par traiter des exemples).
   1. Les valent successivement :
   2. Pour les images , on trouve successivement les fractions
      .
   3. Cette régularité s'explique comme suit. est un polynôme de degré et de la parité de . fait donc intervenir les exponentielles , , etc. Comme les coefficients des termes de degré de sont non nuls, cela se traduit ce qui se traduit par la présence effective des pôles , , etc. chacun d'eux introduisant un terme de degré .
   4. Le degré du dénominateur de la fraction est donc . Comme cette fraction est de degré au plus, le numérateur possède au plus racines.
   5. Par changement de variable, . Si et n'ont pas même parité, cette intégrale vaut et est donc nulle si de plus . On obtient racines (positives et de parité contraire à ) et donc il n'y en a pas d'autres.
   6. Il ne reste plus qu'à fixer le coefficient de la fraction . On sait que lorsque . Or .