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Devoir 18

corrigé

1  Opérateurs quantiques dans C[ X, Y]  .

1.1  Définition des opérateurs D  et S 

Soit E=C[ X, Y] . On désigne par [^X] et [^Y] les applications P® X P et P® Y P , et par [()/(X)] et [()/(Y)] les applications P® PX¢ et P® PY¢.

  1. Montrer que les opérateurs D=[^X]°[()/(X)]+[^Y]°[()/(Y)] et S=[^Y]°[()/(X)]-[^X]°[()/(Y)] sont des applications linéaires de E dans E .

    1. La linéarité des opérateurs [^X] et [^Y] provient de la distributivité de la multiplication des polynômes.

    2. Les opérateurs [()/(X)] et [()/(Y)] sont linéaires par définition : ils sont donnés sur la base canonique, puis étendus par linéarité.

    3. Les opérateurs portant sur des variables différentes commutent : [^X]°[^Y] = [^Y]°[^X] n'est autre que X×Y×P=Y×X×P , [^X]°[()/(Y)] = [()/(Y)]°[^X] est X×( [()/(Y)]P) = [()/(Y)]( X×P) , et enfin [()/(Y)]°[()/(X)] = [()/(X)]°[()/(Y)] est [()/(Y)]( [()/(X)]( P) ) = [()/(X)]( [()/(Y)]( P) ) , c'est à dire la relation de Schwarz.

    4. On a en outre : ( [()/(X)]°[^X]) ( P) = [()/(X)]( X P) = X P¢+P=( [^X]°[()/(X)]+id) ( P) , ainsi que la relation analogue pour la deuxième variable. Ces ``relations de Dirac'' se résument en :
      X
      		   ^
      X
       
      		 = ^
      X
       
      		  
      X
      		 +id       ;      
      Y
      		   ^
      Y
       
      		 = ^
      Y
       
      		  
      Y
      		 +id

  2. Montrer que D et S commutent, c'est à dire que "P Î E : ( D°S) ( P) = ( S°D) ( P) .

    1.  
      D S
      =
      æ
      ç
      è       		^
      X
       
      X
      		 + ^
      Y
       
      Y
      		 ö
      ÷
      ø       		æ
      ç
      è       		^
      Y
       
      X
      		 - ^
      X
       
      Y
      		 ö
      ÷
      ø
      =
      ^
      X
       
      X
      		 ^
      Y
       
      X
      		 + ^
      X
       
      X
      		 ^
      X
       
      Y
      		 - ^
      Y
       
      Y
      		 ^
      Y
       
      X
      		 - ^
      Y
       
      Y
      		 ^
      X
       
      Y
      =
      ^
      X Y
       
      X2
      		 + ^
      X
       
      		 æ
      ç
      è       		^
      X
       
      		  
      X
      		 +id ö
      ÷
      ø
      Y
      		 - ^
      Y
       
      		 æ
      ç
      è       		^
      Y
       
      		  
      Y
      		 +id ö
      ÷
      ø
      X
      		 - ^
      X Y
       
      Y2

    2. Il vient D S=S D=[^X Y]( [(2)/(X2)]-[(2)/(Y2)]) +( [^(X2)]-[^(Y2)]) [(2)/(X Y)]+( [^X][()/(Y)]-[^Y][()/(X)]) .
      Le point clef est donc la présence de termes du premier ordre.

  3. Calculer S2+D2 , c'est à dire S°S+D°D (on obtient une expression simple...).

    1.  
      S S
      =
      æ
      ç
      è       		^
      Y
       
      X
      		 - ^
      X
       
      Y
      		 ö
      ÷
      ø       		æ
      ç
      è       		^
      Y
       
      X
      		 - ^
      X
       
      Y
      		 ö
      ÷
      ø
      =
      ^
      Y
       
      X
      		 ^
      Y
       
      X
      		 - ^
      Y
       
      X
      		 ^
      X
       
      Y
      		 - ^
      X
       
      Y
      		 ^
      Y
       
      X
      		 + ^
      X
       
      Y
      		 ^
      X
       
      Y
      =
      ^
      Y2
       
      X2
      		 - ^
      Y
       
      		 æ
      ç
      è       		^
      X
       
      		  
      X
      		 +id ö
      ÷
      ø
      Y
      		 - ^
      X
       
      		 æ
      ç
      è       		^
      Y
       
      		  
      Y
      		 +id ö
      ÷
      ø
      X
      		 + ^
      X2
       
      Y2

    2.  
      D D
      =
      æ
      ç
      è       		^
      X
       
      X
      		 + ^
      Y
       
      Y
      		 ö
      ÷
      ø       		æ
      ç
      è       		^
      X
       
      X
      		 + ^
      Y
       
      Y
      		 ö
      ÷
      ø
      =
      ^
      X
       
      X
      		 ^
      X
       
      X
      		 + ^
      X
       
      X
      		 ^
      Y
       
      Y
      		 + ^
      Y
       
      Y
      		 ^
      X
       
      X
      		 + ^
      Y
       
      Y
      		 ^
      Y
       
      Y
      =
      ^
      X
       
      		 æ
      ç
      è       		^
      X
       
      		  
      X
      		 +id ö
      ÷
      ø
      X
      		 + ^
      X Y
       
      		 2
      X Y
      		 + ^
      Y X
       
      		 2
      Y Y
      		 + ^
      Y
       
      		 æ
      ç
      è       		^
      Y
       
      		  
      Y
      		 +id ö
      ÷
      ø
      Y

    3. En regroupant, on constate que les termes du premier ordre de S2+D2 se simplifient, ainsi que les ``termes de Schwarz''. On obtient donc
      S2+D2= æ
      è       		^
      X2+Y2
       
      		 ö
      ø       		æ
      ç
      è
      X2
      		 +
      Y2
      		 ö
      ÷
      ø

1.2  Nombre quantique principal

  1. Redémontrer que le sous-espace Hn des polynômes homogènes de degré n est sous-espace propre de D pour la valeur propre l = n , puis établir que E=Ån Î NHn .

    1. On a D( XpYq) = X( pXp-1Yq) +Y( XpqYq-1) = ( p+q) XpYq .

    2. On a donc P Î Hn implique D( P) = n P , montrant que Hn est inclus dans ker( D-n id) .

    3. Le fait que E=Ån Î NHn vient de ce que la réunion des bases est { Xp Yq| p, q } , soit une base de E , tandis que les intersections deux à deux sont nulles..

  2. En conclure que : ``les valeurs propres de D sont les entiers naturels et les vecteurs propres de D sont les polynômes homogènes''..

    1. Comme les Hn sont des espaces propres et que leur somme vaut E , il n'y a pas la place pour d'autres vecteurs propres.

    2. Les valeurs propres possibles sont donc les entiers naturels, avec Hn =ker( D-n id) .

1.3  Exemples de vecteurs propres de S  ( n £ 3 )

  1. Montrer que le polynôme 1 est vecteur propre de S .

    On a visiblement S( 1) = 0=0×1 . Donc 1 est vecteur propre de S pour l = 0 .

  2. Écrire et résoudre les équations que doit vérifier un polynôme P Î H1 pour être vecteur propre de S , c'est à dire pour qu'il existe l Î C tel que S( P) = lP .

    1. Si P Î H1 alors P=aX+bY , et S( P) = Ya-Xb=lP donne la=-b et lb=a , donc l2=-1 .

    2. Réciproquement, on voit que S( Y+iX) = Y( i) -X( 1) = +i( Y+iX) ainsi que S( Y-iX) = Y( -i) -X( 1) = -i( Y-iX) .

  3. Même question pour les polynômes homogènes de degré 2 et 3.

    1. Si P Î H2 alors P=aX2+2bXY+cY2 , et S( P) = Y( 2aX+2bY) -X( 2bX+2cY) = lP donne ( 2b-l c) y2+2( a-c-l b) y x-( la+2b) x2=0 . La matrice de ce système est [
      -l
      2
      0
      -2
      -2l
      2
      0
      -2
      -l
      ] . Il est donc nécessaire que le déterminant soit nul, c'est à dire -2l( 4+l2) = 0 : les valeurs propres sont donc +2i, 0, -2i .

    2. On obtient Y2+2iX Y-X2 , Y2+X2 et . Y2-2iX Y-X2 .

    3. De même, si P Î H3 alors P=aX3+3bX2Y+cXY2+dY3 , conduisant à la matrice [
      -l
      3
      0
      0
      -1
      -l
      2
      0
      0
      -2
      -l
      1
      0
      0
      -3
      -l
      ] et à l'équation ( l2+9) ( l2+1) = 0 .

    4. La résolution des systèmes associés aux valeurs propres +3i, +i, -i, -3i conduisent alors aux polynômes unitaires : ( Y+iX) 3 , ( Y+iX) 2( Y-iX) , ( Y+iX) ( Y-iX) 2 et ( Y-iX) 3 .

1.4  Nombre quantique orbital

  1. On convient de noter un P homogène de degré n par P=åk Î ZakXn-kYk avec ak=0 lorsque k Ï [ 0 .. n] . Donner la relation de récurrence que doivent vérifier les coefficients ak pour que P soit vecteur propre de S avec l comme valeur propre.

    1. Posant P=åk Î ZakXn-kYk , il vient [^Y][()/(X)]P=åk Î Zak( n-k) Xn-k-1Yk+1 et [^X][()/(Y)]P=åk Î Zak( k) Xn-k+1Yk-1 .

    2. La relation ( [^Y][()/(X)]-lid-[^X][()/(Y)]) ( P) = 0 conduit donc à "k : ( n-k+1) ak-1-lak-( k+1) ak+1=0

  2. Montrer que le système obtenu possède une solution non nulle (i.e. P ¹ 0 ) si et seulement si l vérifie une certaine équation polynomiale Rn( l) = 0 , dont on donnera le degré (il n'est pas demandé d'expliciter cette équation).

    1. Pour k=n, cette relation devient ( n-n+1) an-1-lan-( n+1) an+1=0 , soit an-1=l an . Pour k=n-1 , on obtient ( n-n+1+1) an-2-lan-1-( n-1+1) an=0 , soit an-2=[1/2]( l an-1+n an) = [1/2]( l2+n) an .

    2. Par récurrence, an-k est le produit de an par un polynôme de degré k en l. Ce polynôme est effectivement de degré k , le coefficient correspondant étant 1/k! .

    3. Pour obtenir a-1=0 , comme il sied à un polynôme, il faut qu'un certain polynôme de degré n+1 en l soit nul.

  3. Montrer que "P1, P2 Î E : S( P1P2) = S( P1) P2+P1 S( P2) . En déduire que P1P2 est vecteur propre de S dès que P1 et P2 le sont. Quelle est alors la valeur propre associée à P1P2 ?

    1. Elementairement, [()/(X)]( P1 P2) = P2 [()/(X)]( P1) +P1 [()/(X)]( P2) . On en déduit "P1, P2 Î E : S( P1P2) = S( P1) P2+P1 S( P2) .

    2. Si l'on a S P1=l1 P1 et S P2=l2 P2 , on a donc S( P1P2) = S( P1) P2+P1 S( P2) = ( l1+l2) P1 P2 .

  4. Appliquer ce résultat aux polynômes X+i Y et X-i Y afin de montrer que, parmi les polynômes homogènes de degré n , les vecteurs propres de S sont exactement les polynômes : a( X+i Y) k( X-i Y) n-k , avec a Î C* et 0 £ k £ n . Indiquer les valeurs propres correspondantes.

    1. On a S( Y+iX) = Y( i) -X( 1) = +i( Y+iX) et S( Y-iX) = Y( -i) -X( 1) = -i( Y-iX) .

    2. On a donc S( ( Y+iX) k( Y-iX) n-k) = i×( k-n+k) = i( 2k-n) . Lorsque k varie de 0 à n , les nombres 2k-n varient de -n à +n , en gardant la parité de n .

    3. Il est clair que ces nombres sont tous différents. Par conséquent les polynômes correspondants sont indépendants les uns des autres. Étant éléments de Hn et au nombre de n+1=dim( Hn ) , ils forment une base de cet espace vectoriel.

  5. Montrer que les polynômes ( X+i Y) j( X-i Y) k forment une base de E , adaptée à la fois à la décomposition de E en sous-espaces propres de D et à la décomposition de E en sous-espaces propres de S .

    1. La relation E=Ån Î NHn montre que l'on obtient une base de E par réunion de bases des sous-espaces Hn .

    2. Posons Pn,m( X, Y) = ( Y+iX) [(n+m)/2]( Y-iX) [(n-m)/2] avec n Î N et m Î [ -n, +n] , de la parité de n . Les nombres n et m sont respectivement appelés nombre quantique principal et nombre quantique orbital du polynôme Pn,m .

    3. L'ensemble des polynômes Pn,m forme donc une base de E et l'on a D( Pn,m) = n et S( Pn,m) = m i . Ce sont donc des vecteurs propres à la fois pour D et S .

    4. Il est clair que deux opérateurs simultanément diagonalisables commutent (on retrouve 1.2).

  6. En déduire que ``les valeurs propres de S sont les éléments de i Z'', puis une caractérisation simple des sous-espaces propres de S , et en particulier de kerS .

    1. Une fois que l'on a une base de vecteurs propres, il n'y a plus d'autres valeurs propres possibles. En effet v=åcjej ¹ 0 donne f( v) -mv=å( lj-m) cj ej=0 . Les valeurs propres sont donc les iZ.

    2. Pour un nombre i m donné, les polynômes Pn,m forment une base de ker( S-m i id) . Ces polynômes ont la parité de m , et un degré égal ou supérieur à | m| .

    3. En particulier, pour m ³ 0 , on a ker( S-m i) = ( Y+iX) m kerS .

1.5  Polynômes harmoniques

  1. On appelle laplacien l'opérateur D=[(2)/(X2)]+[(2)/(Y2)] . Utiliser les questions précédentes pour montrer que kerD = C[ X+i Y] +C[ X-i Y] .

    1. On a vu que S2+D2=[^(X2+Y2)]°D. On a donc kerD = ker( S2+D2) .

    2. Les Pn,m constituent encore une base de diagonalisation, et l'on a ( D2+S2) Pn,m=( n2+( i m) 2) Pn,m . Autrement dit, les valeurs propres sont les nombres n2-m2 .

    3. Enfin, kerD est engendré par les polynômes Pn,n et les Pn,-n ce qui conduit à kerD = C[ Y+i X] +C[ Y-i X] .
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TEX by TTH, version 2.92.
On 21 May 2001, 00:40.