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1. Isométries

On considère l'espace vectoriel cut muni de la structure euclidienne associée à la base cut. On note cut le produit scalaire correspondant. Soit alors cut un vecteur unitaire, cut la droite dirigée par cut, cut la projection orthogonale sur cut, cut le plan orthogonal à cut, cut la projection orthogonale sur cut et enfin cut et cut les matrices de cut et de cut dans la base cut.

  1. Pour cut, exprimer cut en fonction de cut et de cut. Déterminer cut. Préciser les valeurs propres et les vecteurs propres de cut.

    1. On sait que cut. Comme cut est unitaire, on a cut.
    2. On a cut. On remarquera qu'il est préférable (pour les applications ultérieures) de conserver le dénominateur, c'est à dire de considérer seulement cut, sans utiliser cut.
    3. Il est immédiat que cut et cut.
    4. Les valeurs propres d'un projecteur sont cut (les vecteurs propres étant les éléments de cut) et cut (les vecteurs propres étant les éléments de cut).
    Soit cut.

  2. Montrer que cut. Préciser cut et cut. Déterminer cut.

    1. La linéarité est la raison de la dénomination ``produit'' vectoriel.
    2. On a cut et cut. Comme cut et cut sont supplémentaires, cut est une bijection cut.
    3. Un calcul immédiat donne cut.
  3. Vérifier que cut. Comparer les normes de cut et de cut, et déterminer l'angle de vecteurs cut. Montrer que cut.

    1. Une première méthode pour vérifier que cut est le calcul matriciel direct.
    2. On peut aussi remarquer que cut et que cut puisque cut.
    3. Version géométrique : on a cut. Donc cut : les valeurs propres étant cut, on a donc une isométrie et cut (à un demi-tour près).
    4. Version algébrique pour l'isométrie : on a cut et cut. Or cut (la matrice est celle d'un projecteur, et elle est symétrique), tandis que cut comme le montre un calcul direct.
    5. Version algébrique pour l'angle. On a cut : (1) est la définition, (2) par antisymétrie, (3) à cause de cut et (4) à cause de l'antisymétrie.
    6. On a cut et donc cut, soit cut. Multipliant par cut, on retrouve cut.
  4. Soit cut. Montrer que cut. Donner cut. Vérifier que cut. Montrer que cut et caractériser cut. En déduire la nature géométrique de cut.

    1. On a cut. L'appartenance cut montrera que cut.
    2. On a cut. Or cut. Donc cut.
    3. On a cut, tandis que cut est une rotation plane d'un quart de tour.
    4. Les valeurs propres de cut sont donc cut. Leur produit valant cut (et non cut), cut est une isométrie positive, c'est à dire un déplacement : c'est la rotation de cut autour de l'axe défini par cut.
  5. On pose cut. Montrer que cut. Caractériser cut en précisant ses éléments remarquables.

    1. Le calcul direct donne cut.
    2. On voit donc que cut est la symétrie orthogonale d'axe cut. Ce qui était d'ailleurs évident, puisque deux quarts de tours donnent un demi-tour.
  6. Soit cut la rotation d'angle cut autour de l'axe dirigé par le vecteur cut. Déterminer, par une méthode ou une autre, la matrice cut.

    1. L'application directe du cours donne cut, la matrice cut valant cut. On obtient cut.
    2. On vérifie aisément que cut, cut et que cut.

2. Un problème de minimisation

On considère cut réels fixés cut. Pour cut, on appelle cut l'application cut. L'objet du problème est de déterminer les polynômes cut conduisant à la valeur minimale de cut et de préciser cette valeur minimale cut.

2.1 L'application cut

Soit cut. Il est admis que cette application est linéaire.

  1. Déterminer cut, en discutant le résultat selon des valeurs de cut par rapport à celle de cut. Préciser la dimension de ce noyau. En donner une base.

    1. Posons cut. Alors cut est cut, autrement dit cut, puisque les cut sont premiers entre eux.
    2. Pour cut, cela donne cut et pour cut, cut, de dimension cut.
    3. Dans le second cas, une base est cut.
  2. Étudier, selon les valeurs de cut, le rang de cut. Préciser les valeurs de cut pour lesquelles cut est surjective, est un isomorphisme.

    1. Vu le théorème du rang, on a cut pour cut et cut pour cut.
    2. On a donc cut injective pour cut et bijective pour cut.
  3. En déduire l'existence et l'unicité d'un cut tel que cut.

    1. Comme cut est bijective, le cut-uplet cut possède donc un et un seul antécédent, que l'on peut noter cut.

2.2 Étude préliminaire

  1. Démontrer l'existence et l'unicité d'une base cut de cut telle que, pour tous cut entiers entre cut et cut, on ait cut et cut lorsque cut. Quelles sont les coordonnées d'un polynôme cut dans cette base cut, et en particulier le polynôme cut ?

    1. On sait que ces polynômes sont les polynômes de Lagrange, à savoir les cut.
    2. Pour cut, on a cut puisque la différence des deux s'annule en cut points tout en ayant un degré au plus cut.
    3. On a donc, en particulier, cut.
  2. Soit cut entier supérieur ou égal à cut. Déterminer la valeur du minimum cut de la quantité cut lorsque cut décrit cut. Déterminer tous les polynômes cut pour lesquels cut.

    1. Pour cut, il est évident que cut est la valeur minimale de cut, valeur atteinte par tous les éléments de cut c'est à dire les multiples de cut.

2.3 Interprétation de cut lorsque cut

  1. Prouver l'existence et l'unicité dans cut d'un produit scalaire, noté cut, tel que la base cut soit orthonormale. Préciser la valeur de cut lorsque cut. On note cut la norme associée, soit cut.

    1. Se donner une base orthonormale est la meilleure façon de se donner un produit scalaire. Dans cette base, la matrice de Gramm est la matrice identité.
    2. On a alors cut, soit, ici, cut.
  2. Calculer les produits scalaires cut, cut, cut et cut. On pourra utiliser cut et cut.

    1. On a successivement cut,
    2. Puis cut

    3. Et enfin cut et les formules analogues pour cut.
  3. D'après les notations introduites, on a cut. En déduire l'existence et l'unicité du polynôme cut pour lequel cut atteint son minimum cut. Définir cut au moyen de cut et de cut. Que dire de cut et de cut ?

    1. Le minimum de cut est atteint lorsque le vecteur cut est orthogonal à l'espace cut.
    2. On a donc cut, cut étant la projection orthogonale sur le sous espace cut.

2.4 Détermination de cut

  1. Montrer l'existence et l'unicité d'une base cut de cut telle que cut (base étagée) et que cut. On commencera par déterminer cut et cut, puis l'on déterminera cut à l'aide des polynômes cut et cut, projection de cut sur cut.

    1. Il s'agit d'appliquer l'orthogonalisation de Schmidt à la base canonique. On a clairement cut, avec cut.
    2. Puis cut avec cut soit cut.
    3. On a clairement cut, soit cut, qui nécessite cut produits scalaires.
    4. Il est préférable d'écrire cut. On a alors cut. Le choix de cut dépend de la normalisation. Ici cut. Pour cut, on a cut ; pour cut, on a cut ; pour cut, on a cut car cut avec cut.
  2. Démontrer, pour cut, que le polynôme cut (associé à la fonction cut) est orthogonal à cut. En déduire une relation simple entre cut cut et cut.

    1. Définissons cut.
      On a cut.
    2. En développant cette expression par la formule du binôme, on obtient cut comme combinaison linéaire des cut pour cut, et ces produits scalaires sont nuls (pour cut).
    3. Par conséquent, cut et cut sont colinéaires, puisque l'orthogonal de cut dans cut est de dimension 1. Le facteur de proportionalité est égal au rapport des coefficients dominants et il est clair que ce rapport est cut selon la parité de cut.
  3. Déterminer les coordonnées de cut (cf. 2.3.3) dans la base cut. Que vaut cut ? En déduire, pour cut, les relations


    cut

    1. Notons cut le projecteur orthogonal sur cut. On a donc cut. Comme on a cut lorsque cut, ces projecteurs s'ajoutent pour donner le projecteur sur l'espace somme.
    2. On a donc cut et cut.
    3. Les formules proposées en découlent immédiatement.

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douillet@cnam.fr
2001-07-20