Devoir 22 (ds11)

corrigé

1 Exercice : suite récurrente

On considère la fonction telle que :

1. Montrer que sur l'intervalle il existe une et une seule solution de l'équation . Soit cette solution. Montrer que appartient à .
   1. On a : la fonction est strictement croissante sur les intervalles où elle est dérivable.
   2. On a donc pour : aucune solution sur cet intervalle.
   3. La fonction (prolongée) est continue croissante sur , arrivant dans . On a donc l'existence et l'unicité d'un solution sur cet intervalle.
   4. Il suffit de vérifier pour avoir .
2. Montrer que vérifie la relation : .
   1. Posons . On a puisque .
   2. Comme , on a et donc . Les angles et ont même tangente et appartiennent au même ``intervalle de bijectivité'' de la fonction . Ils sont donc égaux.
   On définit la suite par et, pour par .
3. Montrer que, pour tout , (Indication : vérifier que ).
   1. On a . On en déduit .
   2. Il est clair que la fonction d'itération est continue décroissante.
   3. On a d'une part et d'autre part .
   4. On en conclut que le segment est un segment stable.
4. Montrer que, pour tout , et en déduire que la suite converge vers .
   1. La question consiste à trouver un facteur de contraction pour l'application , afin de conclure par le théorème du point fixe (la question 2 consistant précisément à montrer que ).
   2. La formule de Taylor avec reste de Lagrange nous montre que chaque différence peut s'écrire avec .
   3. Comme pour , on peut conclure à la convergence de la suite.
   4. L'exécution effective du processus conduit à , avec un facteur de contraction .

2 Problème 1

2.1 Partie 1

Le plan est rapporté à un repère orthonormal , et est la fonction définie, pour par et par pour un certain . La courbe représentative de est désignée par désignée par . Bien entendu, on commence par tracer la courbe.

1. Déterminer le développement limité de à l'ordre 3 au voisinage de . En déduire pour que soit continue en . On prendra désormais égal à la valeur trouvée. Démontrer que est dérivable en . Préciser la position de la courbe par rapport à sa tangente au point d'abscisse .
   1. Il est clair que la fonction est impaire : le développement sera impair lui-aussi.
   2. On a f.
   3. On obtient donc (le fond de la question est la démonstration des ordres de troncature, le détail des calculs pouvant être laissé aux machines).
   4. L'existence d'un développement au premier ordre prouve la dérivabilité en , et donne . Le terme suivant donne un équivalent pour , permettant de placer la courbe par rapport à sa tangente.
   5. Cet équivalent étant d'ordre , la tangente traverse la courbe, et celle-ci est au-dessus pour .
2. Étudier les variations de sur . Donner le tableau de variations de .
   1. On a, pour , . Cette expression est strictement positive pour , puisqu'alors .
   2. La dérivée est donc strictement positive pour tout , et est strictement croissante.
3. Étudier les asymptotes éventuelles de et préciser la position de par rapport à ses asymptotes. Tracer .
   1. L'étude pour est facilitée par passage à l'exponentielle. La fonction se réécrit en .
   2. Un développement en donne montrant que est asymptote, la courbe étant au-dessus.
   3. On peut aussi procéder en plusieurs étapes. On a successivement , puis et enfin .
   4. En utilisant la parité, on voit que est asymptote pour , la courbe étant placée en dessous.
4. On considère l'équation différentielle : . La résoudre sur chacun des intervalles : et , puis sur .
   1. On commence par : . Sur les intervalles où , c'est à dire les intervalles ne contenant pas , cette équation se résoud en considérant les dérivées logarithmiques.
   2. Il vient , dont les solutions sont (si les dérivées logarithmiques sont égales, les fonctions sont proportionnelles).
   3. Cherchons donc les solutions de sous la forme , en prenant . Il vient , qui se réduit en . Une intégration par parties donne . D'où .
   4. Le résultat précédent a été établi pour des intervalles ne contenant pas , et donc pour les intervalles et (une constante par intervalle, ces constantes n'étant pas liées). Si l'on veut une solution sur , il faut au minimum que les solutions partielles soient unilatéralement prolongeables en , ce qui impose .
   5. On retombe alors sur la fonction étudiée précédemment, qui est de classe . Elle vérifie donc l'équation , tous les éléments de cette équation étant continus.

2.2 Partie 2

1. Soit une fonction continue sur . Établir les deux résultats suivants qui pourront être utilisés par la suite :
   (1) Il existe une fonction unique, définie sur , admettant des dérivées première et seconde, telle que : .
   (2) Si avec , , , alors avec .
   1. Posons . Cette fonction est de classe avec et , prouvant l'existence. On voit aisément que pour toute solution du problème.
   2. Posant , la fonction est continue : en par hypothèse et ailleurs comme quotient de continues. Il est donc loisible de poser .
   3. On a alors , prouvant que le reste est un .
   Soit une fonction continue sur et strictement positive sur . On associe à la fonction définie par et, pour , par .
   
2. Justifier que est effectivement définie sur . En appliquant à le résultat de la question 1.1, établir, pour la relation : . Montrer que pour . En déduire que est continue.
   1. On sait que l'intégrale d'une fonction positive, presque partout non nulle, est strictement positive (le segment d'intégration étant honnêtement choisi). Cela est évident pour une fonction continue positive, non nulle sauf peut-être aux bornes. On a en effet pour un certain .
   2. Les intégrandes sont continus, prouvant l'existence des intégrales. Pour , ce qui précède montre à la fois que le dénominateur est non nul et que .
   3. Une intégration par parties, avec , , , donne . On a donc pour .
   4. La majoration s'obtient en appliquant 2.a à la fonction . On en déduit .
   5. En , la fonction , possédant un facteur de Lipschitz, est continue. Et ailleurs aussi, comme quotient de continues, le dénominateur ne s'annulant pas.
3. Démontrer que est dérivable et strictement croissante sur . Démontrer que si vérifie la condition (b) de la question 1, alors est dérivable à droite en . Préciser son nombre dérivé.
   1. Pour , la fonction est dérivable comme quotient de dérivables, le dénominateur étant non nul. Un calcul élémentaire donne , quantité strictement positive. On en déduit que est strictement croissante sur .
   2. Si l'on suppose en outre que , on a , soit , donnant l'existence et la valeur de la dérivée.
   3. En substituant directement dans la formule donnant , on obtient la même valeur ... sous l'hypothèse que serait de classe . Ce calcul est donc une vérification, et non une preuve.
4. Déterminer une fonction telle que la fonction qui lui est associée soit la restriction à de la fonction étudiée dans la partie 1.
   1. Partant de , il vient et .
   2. On est donc dans le cas et .
5. On suppose que est la fonction définie sur par . Déterminer . Quel est le nombre dérivé de à droite en ?
   1. Les calculs conduisent à .
   2. Un développement en série en donne , confirmant .

3 Problème 2

Notations : On considère dans tout le problème un -espace vectoriel de dimension finie non nulle. On note l'application identité de et l'ensemble des endomorphismes de , l'ensemble des matrices carrées d'ordre sur et la matrice unité d'ordre . Si et si est un sous-espace vectoriel de , on dira que est stable par si . On rappelle que, par définition, une valeur propre d'un endomorphisme de est un complexe tel qu'il existe un vecteur tel que et que . Un tel vecteur est alors appelé vecteur propre de pour la valeur propre . Un endomorphisme diagonalisable est un endomorphisme tel qu'il existe une base de dans laquelle la matrice de est diagonale.

3.1 Partie I

Dans cette partie, désigne un endomorphisme de tel qu'il existe une base de vérifiant avec complexes distincts.

1. Quelles sont les valeurs propres de ? Les valeurs propres sont les . Comme elles sont distinctes, l'endomorphisme est diagonalisable. Soit un polynôme de et l'endomorphisme de défini par :
2. Montrer que . Montrer que est diagonalisable. Calculer les valeurs propres de et son déterminant en fonction des valeurs propres de .
   1. Il est clair que commute avec ses propres puissances. Et partant avec les combinaisons linéaires de celles-ci.
   2. Dans la base , la matrice de est , donnant les valeurs propres et le déterminant .
3. Application. Soit et .
   (1) Déterminer les valeurs propres de .
   (2) Montrer qu'il existe cinq complexes tels que . En déduire les valeurs propres de et une expression du déterminant de .
   (3) Soit tel que et . Simplifier . En déduire que .
   1. Il est clair que est la matrice d'un cycle d'ordre . On a donc . Posant , les valeurs propres sont les pour .
   2. On voit que : les valeurs propres de sont donc les avec .
   3. On sait que intervient dans le développement limité de . D'où l'idée d'évaluer le reste : . D'où pour les racines primitives cinquièmes.
   4. On a donc . Comme les (pour ) sont les racines de , leur produit est , et le produit des est donné par la constante de , qui vaut . On en conclut .
4. Soit un endomorphisme de tel que . On note une base de formée de vecteurs propres de .
   (1) Montrer que .
   (2) Soit nombres complexes fixés, notés . Montrer qu'il existe un unique polynôme tel que et que pour .
   (3) Déduire des questions précédentes qu'il existe un polynôme tel que et .
   1. On a . Si , alors et l'on pose . Sinon est vecteur propre de pour la valeur propre . Comme les sous espaces propres de sont de dimension , il existe une constante telle que .
   2. Il s'agit des polynômes d'interpolation de Lagrange. Pour l'existence, on pose et l'on a . Pour l'unicité, on constate que s'annule fois en étant de degré au plus.
   3. Lorsque est à valeurs propres distinctes, tout élément du commutant se diagonalise dans la base et il existe un polynôme tel que pour tout . On a donc et ,partant, .
5. Soit . Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes : (1) ; (2) il existe une base de sur laquelle les matrices de et sont diagonales ; (3) il existe un polynôme tel que et .
   Montrer que est une -algèbre commutative. Quelle est sa dimension ?
   1. est Q4a. La réciproque est triviale puisque deux matrices diagonales commutent.
   2. est Q4c, tandis que la réciproque est Q2.
   3. Dans le cas examiné, et est donc une algèbre commutative de dimension puisque le polynôme minimal est égal au polynôme caractéristique.
6. Application. Soit . (1) Déterminer les valeurs propres de et une matrice telle que soit diagonale. (2) On se propose de chercher les matrices telles que . Montrer qu'en pareil cas . En déduire toutes les solutions de . (3) Si est l'ensemble de ces solutions, calculer et .
   1. On calcule , montrant que est effectivement à valeurs propres distinctes. Les noyaux se calculent aisément, conduisant à la matrice . On vérifie que .
   2. Comme serait une puissance de , il commute avec et donc est dans le commutant de qui est, ici, . Posant avec , on a . Ce qui conduit à , , et solution de . La relation est immédiate : sinon serait inversible, et aussi. Le fait que figure par son cube vient de ce que solution implique solution.
   3. Une méthode plus raisonnable consiste à utiliser la diagonalisation : la matrice est semblable à où décrit les trois racines cubiques de et les trois racines cubiques de . On retrouve l'existence de solutions distinctes.
   4. Faire la somme des solutions revient à prendre trois fois la somme des et trois fois celle des , soit les deux fois. D'où .
   5. Faire le produit revient à prendre le cube du produit des et le cube du produit des , soit et . D'où .
   6. Autre version de la chose : les solutions peuvent être groupées trois par trois et s'écrire . La somme par lot est nulle, le produit par lot donne .

3.2 Partie 2

Soit un sous-groupe fini et commutatif du groupe des automorphismes de . On note le nombre d'éléments de .

1. On se propose de montrer que tous les éléments de ont au moins un vecteur propre en commun. (1) Traiter le cas . (2) Traiter le cas où tous les éléments de sont des homothéties. (3) Montrer que si un automorphisme n'est pas une homothétie et si , admet au moins une valeur propre et un sous-espace propre associé de dimension strictement inférieure à . Vérifier que est stable par tous les éléments de . (4) Démontrer par récurrence sur l'entier qu'il existe un vecteur propre commun à tous les éléments de .
   1. Les automorphismes de en tant que espace vectoriel sont les homothéties. Le cas résulte donc de (2).
   2. Pour une homothétie, tout vecteur non nul est un vecteur propre. Pour un groupe d'homothéties, tout vecteur non nul est donc vecteur propre commun.
   3. Supposons l'existence d'un qui ne soit pas une homothétie. Il possède au moins une valeur propre , puisque possède au moins une racine, et est différent de (on aurait sinon ).
   4. Cet est stable par tout . Soit en effet . La commutativité donne , ce qui prouve .
   5. Supposons donc qu'il existe un groupe d'automorphismes d'un espace de dimension tel qu'il n'existe pas de vecteur propre commun à tous les . Ce groupe ne peut être un groupe d'homothétie. Il existe donc un sous-espace de dimension strictement inférieure (le ci-dessus) pour lequel est à nouveau un groupe d'automorphisme sans vecteur propre commun. On aurait donc une suite strictement décroissante d'entiers positifs, ce qui ne peut exister.
2. A tout élément de on associe défini par . Montrer que et que .
   1. est linéaire comme combinaison linéaire de composées d'applications linéaires.
   2. Soit . Alors . Comme l'ensemble des , à fixé, n'est autre que l'ensemble des , on a .
3. Un sous-espace vectoriel de est dit stable par s'il est stable par tout élément de . Soit un sous-espace vectoriel stable par . (1) Montrer que : . (2) Soit un projecteur de d'image . Montrer que (défini au 2) est un projecteur de d'image et de noyau stable par . (3) En déduire que tout sous-espace vectoriel de stable par a un supplémentaire dans stable par .
   1. Comme est stable, on a . Comme est bijectif, il y a conservation de la dimension et donc .
   2. Soit un projecteur tel que . Partons de . On a . Par stabilité de , on a et donc . D'où .
   3. Pour tout , on a . Donc chaque est dans (stabilité) et . On en conclut que est un projecteur sur .
   4. Soit et . On a et . Cet ensemble est donc stable par . On en déduit que tout sous espace stable par possède un sous espace supplémentaire stable lui aussi.
4. Déduire des questions précédentes qu'il existe une base de sur laquelle tous les éléments de ont une matrice diagonale.
   1. Si est un groupe d'homothéties, les s'écrivent de façon diagonale dans n'importe quelle base.
   2. Sinon, il existe au moins un qui n'est pas une homothétie, et qui alors possède au moins un sous espace propre de dimension strictement inférieure. Ce sous espace et au moins l'un de ses supplémentaires sont stables par .
   3. On peut donc itérer le processus en partant de puis de . Ayant supposé de dimension finie, l'algorithme se termine nécessairement.
5. Énoncer une condition nécessaire et suffisante pour qu'un sous-groupe fini de soit commutatif.
   1. On a montré : un sous-groupe commutatif fini de est codiagonalisable. En sens inverse, un sous-groupe codiagonalisable de est commutatif.
   2. On remarquera qu'il suffit d'un seul élément non diagonalisable pour que le groupe soit infini, par exemple le groupe des matrices engendré par avec .