Ensait - E2 - Tests d'hypothèses

Date: Corrigé du DS du 26/11/2003

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Le sujet comporte deux pages.

1 Test d'hypothèse (1)

On a prélevé un premier échantillon de objets. La moyenne de cet échantillon est et son écart-type est . Puis on a prélevé un deuxième échantillon de . La moyenne de cet échantillon est et son écart-type est .

1. Calculer la moyenne et l'écart-type de l'échantillon constitué de la réunion des deux échantillons précédents.
   1. Il est évident que .
   2. On obtient la moyenne générale par pondération des moyennes
   3. On obtient la variance générale en ajoutant la moyenne des variances et la variance des moyennes . On obtient comme écart-type de l'échantillon
2. Tester l'hypothèse selon laquelle les deux échantillons initiaux auraient été prélevés au sein d'une même population.
   1. Selon cette hypothèse, notre meilleure estimation de la variance de la population est , tandis que la moyenne d'un échantillon de taille a pour variance .
   2. La variance de la différences des moyennes de deux échantillons prélevés indépendamment l'un de l'autre est alors .
   3. La variable réduite associée est donc . Pour des échantillons de cette taille, les moyennes suivent la loi normale. Il en est de même pour (différence de variable normales indépendantes).
   4. Comme, pour une variable de Gauss, on a , il n'y a aucune raison de rejeter cette hypothèse.
3. En supposant que la population est homogène et distribuée normalement, avec un nombre total d'événements égal à , estimer le nombre d'objets (de la population totale) vérifiant .
   1. La variable réduite associée vaut , et la probabilité vaut . On a donc .
   2. Si l'on fait le même calcul en supposant qu'il y a deux populations normales, on trouve respectivement et individus. Soit un total de , à peine différent.
4. Donner un intervalle de confiance à pour le nombre . En utilisant le modèle binomial, on obtient un écart-type de . Avec un facteur de couverture égal à , on obtient .

2 Test d'hypothèse (2)

Au sein d'une certaine population, on a prélevé l'échantillon suivant :

et on veut en déduire une estimation de la moyenne de la population.

1. Est-il indispensable pour les calculs qui vont suivre de supposer que la population est distribuée, au moins approximativement, selon la loi normale ?
   1. Les moyennes d'échantillon tendent à se comporter comme des variables normales, même si la population dont les échantillons sont extraits ne suit pas cette loi.
   2. La taille de l'échantillon état faible (11), la "loi des grands nombres" ne pourra pas amortir un trop grand écart par rapport à la loi normale.
2. Estimer la moyenne de la population pour les seuils de confiance et .
   1. On obtient et . La quantité est notre meilleure estimation possible pour la variance relative aux individus formant la population. La variance de considérée comme une variable aléatoire (sur les différents échantillons possibles, de taille ) est .
   2. Pour , on utilise dans les tables de Fischer. Pour le seuil de , la table donne . L'encadrement cherché, donné par la formule , est donc .
   3. Au seuil de , le coefficient de Fischer est et l'intervalle est : on peut tout juste estimer que la moyenne de la population se situe dans l'amplitude de l'échantillon.
3. Estimer la taille de l'échantillon nécessaire pour obtenir un intervalle de largeur autour de (toujours pour les seuils et ).
   1. Comme le coefficient de Fischer dépend de la taille de l'échantillon, on commence par utiliser le modèle normal (conduisant à une valeur sous-estimée pour ).
   2. Au seuil de , on a donc (le facteur vient de ce que est le diamètre de l'intervalle voulu, et non son rayon). En résolvant, .
   3. Pour ces valeurs de et , le coefficient de Fischer est quasiment égal au coefficient normal. La valeur "exacte" est .
   4. Au seuil de , on obtient , conduisant à . D'après la table, le coefficient de Fischer n'est pas très différent du coefficient normal. On peut se contenter d'arrondir (par excès) et donc prendre . Le calcul "exact" donne .
   5. Dans les deux cas, nous obtenons une estimation de à partir d'une valeur très inférieure (). Il serait donc illusoire d'espérer mieux qu'un ordre de grandeur : une meilleure réponse est donc "environ ", "environ ".

3 Générateur aléatoire

On s'intéresse à la méthode de tir dont les résultats sont les nombres et les seuils sont les nombres :

1. Quel est le facteur de tir de cette méthode ? Quel est le nombre moyen de tirs par nombre engendré ? Quelles sont les probabilités correspondantes ?
   1. On commence par un dessin :

      Figure: La méthode de tir décrite dans l'énoncé.

      

   2. Le facteur de tir est le nombre moyen de succès par essai. Ici :
      

   3. Le nombre moyen de tirs par nombre engendré vaut .
   4. Les probabilités sont proportionnelles aux chances de succès. On a donc :
      

2. Moyenne et écart-type de la population engendrée ?
   1. Par définition, .
   2. De même . On en déduit .
3. Peut-on utiliser une méthode de tir plus efficace ?
   1. Oui, en prenant 1 comme chances de l'événement de probabilité maximale.
   2. On obtient donc :
      

   3. Ce qui donne un facteur de tir de .
4. Déterminer (en donnant les étapes du calcul) la méthode de Walker associée aux mêmes probabilités.
   1. La méthode de Walker consiste à obtenir comme facteur de tir en "recyclant les échecs". Il faut donc fabriquer une liste de seuils de décision et une suite de décisions alternatives (appelées et dans ce qui suit).
   2. On commence par lister les événements avec leurs chances respectives, en normalisant les chances pour que la chance moyenne soit (ou bien encore la somme des chances égale au nombre d'événements, ici ). Il vient :
      

   3. L'événement de plus faible chance est le . On prend donc . La décision à prendre en cas de dépassement de ce seuil est l'événement de plus forte chance. On a donc .
   4. On reprend la liste des événements en supprimant l'événement et en tenant compte des chances déjà attribuées à l'événement . Ses chances résiduelles sont maintenant , et il devient le moins probable des survivants. Il vient :
      

   5. A l'étape suivante, , . Et les chances résiduelles de l'événement sont maintenant : . Il vient : 
      

   6. Finalement, on obtient le tableau suivant :

      événement	1	2	3	4	5	6
      seuil	1.00	0.90	1.00	0.80	0.45	0.95
      autre	"1"	6	"3"	3	4	1

5. Quelle est l'espérance et la variance de la variable obtenue en faisant la somme de deux valeurs successives (selon l'équation ) ?
   1. De toutes façons .
   2. Et, à cause de l'indépendance, .
6. Comment pourrait-on engendrer directement la variable , c'est à dire sans calculer les ?
   1. Le tableau ci-dessous donne les probabilités des couples .
      

   2. La probabilité d'une valeur donnée de s'obtient par des regroupements de cas, soit :
      

   3. On obtient les valeurs :
      

   4. On peut vérifier que la somme vaut et que l'on retrouve les bonnes valeurs pour la moyenne et la variance.

4 Test du

1. Peut-on accepter l'hypothèse selon laquelle les scores :
   
   ont été obtenus selon un processus aléatoire ayant les probabilités données au problème précédent ?
   1. L'effectif de l'échantillon est . Les scores théoriques sont donc fois la probabilité, soit :
      
      Les hypothèses de validité du test (pas de score théorique inférieur à ) sont vérifiées.
   2. Le calcul du donne :
      

   3. Comme , on a et il n'y a pas lieu de rejeter l'hypothèse proposée.
2. Même question pour les scores :
   
   1. L'effectif est . Les mêmes calculs conduisent à :
      

   2. D'où . Il y a grosso modo de chances pour dépasser cette valeur (un calcul exact donne une probabilité de ). D'où léger doute, mais pas de rejet.