Ensait - E2 - Aide à la Décision

Date: Évaluation du 15/01/2007 - 08h00-10h00

tous documents autorisés

Rappel des consignes

1. Les consignes données lors de l'évaluation MAO 2005-2006 continuent d'être valables. Elles sont consultables à l'adresse  http://www.douillet.info/~douillet/maotp/maotp_ds10/index.html. En particulier, l'attention des étudiants est attirée sur le fait que le trafic réseau de leur ordinateur est susceptible d'être enregistré pendant la durée de l'évaluation.
2. Les bibliothèques pldx et simul doivent être à jour, c'est à dire vérifier :
   $$pldx\ge 29 ; simul\ge 21$$

3. Avant chaque simulation, réinitialiser le générateur aléatoire par la commande :
   _seed := ddmmyy ;
   où votre date de naissance est dd/mm/19yy

1 Test d'hypothèses

1. On prélève le matin un échantillon composé de $N_{1}=30$ individus, ayant une moyenne $m_{1}=13.1$ et un écart-type $e_{1}=3.6$. On prélève dans l'après-midi un échantillon de $N_{2}=20$ individus, ayant une moyenne $m_{2}=11.0$ et un écart-type $e_{2}=2.8$. Déterminer la moyenne et l'écart-type de l'ensemble des individus prélevés.
   1. On a $N=30+20=50$.
   2. Par définition, $m=\left(\sum x\right)/N$. On a $\sum =\sum _{1}+\sum _{2}$. Donc $m=\left(30*13.1+20*11.0\right)/50=12.26$.
   3. De même, $\sum x^{2}=30*\left(13.1^{2}+3.6^{2}\right)+20*\left(11.0^{2}+2.8^{2}\right)=8113.90$ et $e^{2}=\left(\sum x^{2}\right)/N-m^{2}$, conduisant à $e=3.4598...\approx 3.46$.
2. Faut-il ou non considérer (au risque de 5%) que les deux échantillons ont été prélevés au sein d'une population homogène ?
   1. Supposons l'homogénéité. Alors les quantités $m_{1}$ et $m_{2}$ sont deux variables aléatoires ayant pour espérance commune l'espérance $\mu$ de la population et pour variances respectives $\sigma ^{2}/30$ et $\sigma ^{2}/20$.
   2. Dans ce cas l'espérance de $d\doteq m_{1}-m_{2}$ est nulle et sa variance peut être estimée par $e^{2}\times \left(1/30+1/20\right)\approx \left(0.9077\right)^{2}$. La valeur réduite de $d$ est donc
      $$d_{red}=\frac{\left(13.1-11.0\right)-0}{0.9077}\approx 2.31$$

   3. Vu la taille des échantillons, on peut considérer que les moyennes $m_{1}$ et $m_{2}$ suivent une loi normale. Il en est alors de même pour $d$ et l'on est amené à rejeter l'hypothèse car $Pr\left(\left\vert z\right\vert>2\right)\approx 0.05$.
   4. La taille de l'échantillon total est trop grande pour que les diverses corrections (utiliser $\sigma ^{2}\approx e^{2}*50/49$, ou un facteur de Fischer) changent le résultat.

2 Student-Fischer

On a prélevé, au sein d'une population "quasi normalement distribuée", l'échantillon :

$$A=14.3, 11.9, 12.0, 12.7, 13.0, 12.3, 12.1, 13.5, 14.0, 13.5$$

1. Déterminer, au risque de 5%, un intervalle de confiance pour la moyenne de la population.
   1. Le facteur de Fischer pour le risque $5\%$ et $\nu =10-1=9$ vaut $2.26$ et s'obtient par la commande
      stats[statevalf,icdf,studentst[9]](0.975);
   2. On a $m=E\left(A\right)=12.93$ et $\sigma _{m}^{2}\approx var\left(A\right)/\left(n-1\right)$, d'où $\sigma _{m}\approx 0.2737$. L'intervalle voulu étant $m\pm 2.26 \sigma _{m}$ on a :
      $$\mu \in \left[12.31, 13.55\right]$$

   3. Si l'on ne tient pas un compte exact des degrés de liberté, on trouve dans la table la valeur $2.23$ (pour $\nu$=10).
2. Déterminer la taille d'échantillon qui permettrait, au risque de 5%, d'obtenir un intervalle de largeur $1$ comme encadrement de la moyenne de la population.
   1. Le diamètre obtenu ci-dessus est $1.24$ au lieu de $1.00$. Il faudrait prendre une taille d'échantillon voisine de $10*\left(1.24\right)^{2}\approx 15$.

3 File d'attente

On considère une file d'attente $\rho =0.8$ dont le processus d'inter-arrivées $a\left(t\right)$ est exponentiel de paramètre $\lambda$ et le processus de service $b\left(t\right)$ est le suivant. La durée de service est $d_{1}=10mn$ avec une probabilité $p_{1}=0.5$ ou bien $d_{2}=15mn$ avec une probabilité $p_{2}=0.3$ ou bien $d_{3}=20mn$ avec une probabilité $p_{3}=0.1$ ou bien $d_{4}=30mn$ avec une probabilité $p_{4}=0.1$.

1. Déterminer l'espérance et la variance du temps de service.
   1. On a $E\left(service\right)=\sum p_{i} d_{i}=14.5$. De même,
      $var\left(service\right)=\sum p_{i} \left(d_{i}-E\left(service\right)\right)^{2}=37.25$.
   2. L'amplitude est $20$. Une variable uniforme ayant cette amplitude aurait une variance égale à $20^{2}/12\approx 33$.
2. En déduire le débit $\mu$, puis le débit $\lambda$.
   1. On a $\mu =1/14.5\approx 0.06897$ et donc $\lambda =\rho \mu \approx 0.05517$.
   2. L'inter-arrivée moyenne est alors $1/\lambda =18.125$
3. Rappeler quelle est la procédure arv permettant de générer des inter-arrivées selon la loi M de paramètre $\lambda$, puis écrire la procédure srv permettant de générer des services selon la loi décrite ci-dessus
   1. arv:= proc() - ln(ra())/lambda; end;
   2. srv:=proc() global ra; ra(); 
      if %<0.5 then 10 elif %<0.8 then 15 
      elif %<0.9 then 20 else 30 fi; end:
4. Tester, par la méthode du $\chi ^{2}$, les générateurs obtenus (on simulera 1000 événements pour chacun des tests).
   1. Pour tester srv, il y a évidemment 4 classes et donc $\nu =3$. On génère $n=1000$ valeurs, que l'on regroupe (tally) obtenant, par exemple,
      $$exper=\left[480, 318, 105, 97\right]$$
      Il est évident que $theor=\left[500, 300, 100, 100\right]$ et l'on obtient $\chi ^{2}=2.22$. La valeur réduite est acceptable :
      $$\chi _{red}^{2}=\frac{2.22-\nu }{\sqrt{2 \nu }}\approx -0.32$$

   2. Pour tester arv, il faut choisir des classes. On peut prendre dix classes, séparées par les déciles, c'est à dire par les nombres $x_{i}$ tels que $Pr\left(X<x_{i}\right)=i/10$. Le test du $\chi ^{2}$ se déroule alors comme ci-dessus.
   3. Une méthode moins probante est de superposer la courbe théorique sur un histogramme expérimental.
5. Simuler le comportement de la file d'attente en utilisant les procédures décrites en TD pour générer $N\approx 6000$ événements (à partir d'un système vide). On arrêtera la simulation à un moment où le système est à nouveau vide (et $N\geq 6000).$
   1. Les procédures proposées sont situées
      http://www.douillet.info/~douillet/cours/waits/node2.html.
   2. Arrêter quand le système est vide revient à arrêter quand il n'existe plus qu'un seul événement dans l'agenda (qui, nécessairement, est alors une arrivée à venir).
6. Étudier la répartition expérimentale des nombres de clients présents, telle qu'elle est observée par le serveur (paramètres de dispersion et histogramme).
   1. La répartition temporelle des nombres d'occupation est celle observée par le serveur lors de la gestion des événements. Elle est fournie par la procédure serveur_observe dans la table (cumulée) durees.

   Figure 1: Les points de vue du serveur et des clients

   

7. Étudier la répartition expérimentale des nombres de clients trouvés dans le système par le client nouvel arrivant (paramètres de dispersion et histogramme). Comparer à la répartition précédente.
   1. La répartition individuelle des nombres d'occupation est celle observée par chaque client arrivant dans le système. Elle est enregistrée par la procédure client_observe et il faut commencer par cumuler ces observations (tally).
   2. On trouve, par exemple :
      . $$\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrr} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 ... ...45 & 274 & 206 & 119 & 93 & 70 & 25 & 17 & 7 & 1 & 0\end{array}$$ où la première ligne est un nombre de clients, la deuxième est la durée constatée par le serveur (arrondie) et la troisième est le nombre de clients ayant constaté cette occupation du système (eux non compris).
   3. Les paramètres de dispersion sont respectivement,
      $$serveur : 2.5426, 4.9967\qquad ;\qquad clients : 2.6040, 5.2818$$

   4. En superposant les deux histogrammes, on obtient la Figure 1. On constate que les deux distributions sont "très semblables" (cet état de fait est lié à la nature des arrivées).
   5. Si l'on veut entreprendre un test "à la $\chi ^{2}$", il faut commencer par se ramener à des nombres de visite c'est à dire ramener la durée totale à la valeur $1000$. Il faut s'attendre à une "assez mauvaise" valeur car, observés par des clients consécutifs, les nombres de clients déjà présents ne sont pas indépendants les uns des autres.
8. Étudier la répartition expérimentale des temps d'attente et des temps de séjour des différents clients. Comparer les paramètres de dispersion obtenus.
   1. La répartition des temps d'attente et de séjour des clients s'obtient à partir des enregistrements effectués par la procédure client_observe.
   2. En calculant les moyennes des valeurs obtenues, on obtient :
      $$E\left(attente\right)\approx 31.8410, E\left(sejour\right)\approx 46.5566$$
      et l'on constate que ces résultats sont compatibles avec $E\left(sejour\right)=E\left(attente\right)+E\left(service\right)$
   3. Concernant les variances, on obtient :
      $$var\left(attente\right)\approx 1051.23, var\left(sejour\right)\approx 1085.21$$
      et l'on constate que ces résultats sont compatibles avec $var\left(sejour\right)=var\left(attente\right)+var\left(service\right)$.
9. Comparer le temps de séjour moyen (expérimental) avec la valeur que l'on obtiendrait pour une file M/M.
   1. Le théorème des débits de Poisson est :
      $$E\left(sejour M/M\right)=\frac{1}{\mu -\lambda }$$
      Un serveur M ayant la même capacité de service (débit nominal) conduirait à un temps de séjour de $72.5$ (au lieu de $46.55$).
   2. Pour obtenir le même temps de séjour, un serveur exponentiel plus rapide serait nécessaire. Les calculs conduisent à $1/\mu \approx 13$, soit un temps de service plus court, venant compenser l'augmentation de la variance.