Ensait - A2 - Aide à la décision

Date: Évaluation du 14/02/2007 - 14h00-16h00

tous documents autorisés

Rappel des consignes

1. Les consignes données lors de l'évaluation MAO 2005-2006 continuent d'être valables. Elles sont consultables à l'adresse  http://www.douillet.info/~douillet/maotp/maotp_ds11/index.html. En particulier, l'attention des étudiants est attirée sur le fait que le trafic réseau de leur ordinateur est susceptible d'être enregistré pendant la durée de l'évaluation.
2. Les bibliothèques pldx et simul doivent être à jour, c'est à dire vérifier :
   $$pldx\ge 29 ; simul\ge 21$$

3. Avant chaque simulation, réinitialiser le générateur aléatoire par la commande :
   _seed := ddmmyy ;
   où votre date de naissance est dd/mm/19yy

1 Test d'hypothèses

1. On prélève le matin un échantillon composé de $N_{1}=40$ individus, ayant une moyenne $\mu _{1}=18.7$ et un écart-type $\sigma _{1}=3.3$. On prélève dans l'après-midi un échantillon de $N_{2}=60$ individus, ayant une moyenne $\mu _{2}=21.1$ et un écart-type $\sigma _{2}=3.5$. Déterminer la moyenne et l'écart-type de l'ensemble des individus prélevés.
2. Faut-il ou non considérer (au risque de 5%) que les deux échantillons ont été prélevés au sein d'une population homogène ?
3. On suppose maintenant $\sigma _{1}=\sigma _{2}=\sigma$ (à déterminer). Quelle est la plus petite valeur de $\sigma$ rendant acceptable l'hypothèse d'homogénéïté ?

2 Student-Fischer

On a prélevé, au sein d'une population "quasi normalement distribuée", l'échantillon :

$$14.4, 14.0, 12.7, 11.5, 11.8, 14.0, 12.0, 14.1, 12.0, 15.4, 13.3$$

1. Déterminer, au risque de 5%, un intervalle de confiance pour la moyenne de la population.
2. Déterminer la taille d'échantillon qui permettrait, au risque de 5%, d'obtenir un intervalle de largeur $1$ comme encadrement de la moyenne de la population.

3 File d'attente

On considère une file d'attente $\rho =0.8$ dont le processus d'inter-arrivées $a\left(t\right)$ est exponentiel de paramètre $\lambda$ et le processus de service $b\left(t\right)$ est le suivant. La durée de service est $d_{1}=15mn$ avec une probabilité $p_{1}=0.3$ ou bien $d_{2}=20mn$ avec une probabilité $p_{2}=0.4$ ou bien $d_{3}=25mn$ avec une probabilité $p_{3}=0.2$ ou bien $d_{4}=30mn$ avec une probabilité $p_{4}=0.1$.

1. Déterminer l'espérance et la variance du temps de service. En déduire le débit $\mu =1/E\left(b\right)$, puis le débit $\lambda =\rho \times \mu$.
2. On définit la procédure arv par :
   arv:= proc() - ln(ra())/lambda; end;
   Générer 1000 valeurs de $a(t)$ selon cette procédure et tester, par la méthode du $\chi ^{2}$, que les nombres obtenus ont le bon comportement.
3. Le fichier http://www.douillet.info/~douillet/cours/decis_ds20/dat_decis_ds20a.txt contient l'enregistrement des durées constatées, pendant une période donnée, par le serveur pour chaque nombre d'occupation. Ainsi $3, 9608.$ veut dire que la durée cumulée des périodes où il y avait exactement $3$ clients présents dans le système a été de $9608.$ minutes. Télécharger ce fichier et en lire les données sous Maple. Paramètres de dispersion et histogramme.
4. Le fichier http://www.douillet.info/~douillet/cours/decis_ds20/dat_decis_ds20b.txt contient l'enregistrement, pour chaque client qui est arrivé pendant cette même période donnée, du nombre de clients déjà présents lors de cette arrivée. Télécharger ce fichier et en lire les données sous Maple. Paramètres de dispersion et histogramme.
5. On se demande si les données du deuxième fichier se répartissent selon une loi géométrique, c'est à dire
   $$Pr\left(X=k\right)=Cte\times \alpha ^{k}$$
   Déterminer la constante $Cte$ en fonction du paramètre $\alpha$. Quel est la valeur de $\alpha$ susceptible de conduire au meilleur accord ? L'hypothèse est-elle acceptable ?
6. Que peut-on faire pour comparer la distribution vue par le serveur et celle vue par les clients ?