Ensait - E2 - Aide à la décision

Date: Projet pour l'évaluation du 2008-01-18 (2h)

tous documents autorisés

Rappel des consignes

1. Les remarques faites à l'occasion du module "Plans d'expérience" continuent d'être valables. Elles sont consultables à l'adresse  http://www.douillet.info/~douillet/cours/planx_ds07a/index.html.
2. Par ailleurs, l'attention des étudiants est attirée sur le fait que le trafic réseau de leur ordinateur est susceptible d'être enregistré pendant la durée de l'évaluation.
3. Les bibliothèques decis et waits doivent être à jour, c'est à dire avoir été téléchargées récemment sur le site web. Les numéros de version sont :
   $$decis\ge04\,;\, waits\ge18$$

4. Modifier la ligne $8$ de chacun de ces deux programmes pour qu'elle indique votre répertoire de travail.
5. Avant chaque simulation, réinitialiser le générateur aléatoire par la commande :
   grand('setsd',1ddmmyy)
   où votre date de naissance est dd/mm/19yy

1 Algorithme de Walker

On s'intéresse au générateur à quatre choix décrit dans decis.sce. Utiliser initpick pour introduire les valeurs $N=500$, $p_{1}=0.1$, $p_{2}=0.2$ et $p_{3}=0.3$ (vérifier les valeurs introduites en examinant le message affiché dans scilex).

1. Exécuter pickc (le générateur de Walker). Que valent alors les vecteurs gap et aux ?
2. Expliquer comment fonctionne le générateur gen, et montrer qu'il engendre effectivement les nombres $1,2,3,4$ avec les $p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$ comme fréquences théoriques. On pourra utiliser sci2exp(gen) pour disposer d'un affichage commode de la fonction gen.
3. Le programme pickc trace automatiquement l'histogramme des $N=500$ valeurs engendrées. Ajouter le tracé de l'histogramme des fréquences théoriques.
4. La variable lesx contient les valeurs engendrées. Déterminer combien de fois les valeurs $1, 2, 3, 4$ ont été obtenues expérimentalement. Utiliser un test du $\chi^{2}$ pour comparer avec les valeurs théoriques.

2 Test de Student-Fischer

On considère à nouveau la variable aléatoire $X\in\left\{ 1, 2, 3, 4\right\}$ avec $Pr\left( X=i \right) =p_{i}$.

1. Déterminer l'espérance et la variance de $X$.
2. Déterminer l'intervalle de confiance (au risque de $5\%$) de la moyenne correspondant à un échantillon de taille $N=11$ puis $N=500$.
3. Comparer avec la moyenne de l'échantillon déjà obtenu ($N=500$). Simuler en outre un échantillon de taille $N=11$ et calculer sa moyenne.

3 File d'attente

On utilise désormais le programme de simulation de files d'attentes décrit dans waits.sce.

3.1 Petit essai

1. Modifier la fonction petitessai de la façon suivante: (ligne 6 à 8)
   grand('setsd',1ddmmyy)
   deff('s=arv',sprintf('s=grand(1, ''uin'', %f, %f)',11, 18))
   deff('s=srv',sprintf('s=grand(1, ''uin'', %f, %f)',15, 26))
2. Lancer le programmer et en commenter le résultat.

3.2 Simulation M/Ga/1

Utiliser le programme 'système M/Ga/1' avec les réglages $marv=66, msrv=60, a=2.4, N=50000$ et $seed=1dmmyy$. Le processus d'interarrivée $X$ est alors une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ et le processus de service $Y$ est une loi Gamma de paramètres $a$ et $b$ tels que $\mathrm{E}\left(X\right)=marv$ et $\mathrm{E}\left(Y\right)=msrv$.

1. Déterminer le débit d'arrivée $\lambda$ à partir de $marv$ et donner la distribution (pdf) de probabilité associée. Quelle est la variance du processus d'inter-arrivée ?
2. Rappeler quelle est la distribution de probabilité associée à la loi Gamma de paramètres $a$ et $b$. Déterminer la valeur de $b$ en fonction de $a$ et de $msrv$. Quelle est la variance des services ?
3. Rappeler ce qu'est le paramètre $\rho$ et donner sa valeur.
4. Rappeler ce que signifient les graphes "1-Durée des états" et "2-États lors de l'arrivée". Pourquoi sont-ils si ressemblants dans l'exemple étudié ?
5. Le programme affiche diverses moyennes, écart-types et auto-corrélations. Pour ce qui est des services, donner l'intervalle de confiance à $95\%$ concernant la moyenne. Même question pour la variance (on signale que le $M^{4}$ du cours vaut $M^{4}=3a\left(a+2\right)b^{4}$ pour une loi Gamma).
6. Pour ce qui est des services résiduels, considérer le fait que la loi en masse associée à la loi $Gamma\left(a,b\right)$ est à son tour une loi Gamma, de paramètres $a+1, b$ et obtenir les intervalles de confiance correspondants.
7. Quelle serait la durée de séjour moyenne dans une file M/M/1 ayant les mêmes valeurs de $\lambda$ et $\mu$? Expliquer pourquoi la valeur obtenue pour la file M/Ga/1 est inférieure.
8. Comparer le nombre de services résiduels constatés et le nombre de clients entrés dans le système. Expliquer la proportion constatée en la reliant à $\lambda$ et $\mu$.