Ensait - A2 - Aide à la décision

Date: Evaluation du 2008-02-19 (14h00)

durée 2h, tous documents autorisés

Rappel des consignes

1. Les valeurs initiales ont changé par rapport à des exercices précédents. Savoir où et comment modifier les programmes utilisés fait partie des compétences évaluées.
2. Il sera tenu compte des remarques faites à l'occasion de l'évaluation E2. Elles sont consultables à l'adresse  http://www.douillet.info/~douillet/cours/decis_ds23a/index.html.
3. Par ailleurs, l'attention des étudiants est attirée sur le fait que le trafic réseau de leur ordinateur est susceptible d'être enregistré pendant la durée de l'évaluation.
4. Les bibliothèques decis et waits doivent être à jour, c'est à dire avoir été téléchargées récemment sur le site web. Les numéros de version sont :
   $$decis\ge04\,;\, waits\ge18$$

5. Modifier la ligne $8$ de chacun de ces deux programmes pour qu'elle indique votre répertoire de travail.
6. Avant chaque simulation, réinitialiser le générateur aléatoire par la commande :
   grand('setsd',2ddmmyy)
   où votre date de naissance est dd/mm/19yy

1 Algorithme de Walker

On s'intéresse au générateur à quatre choix décrit dans decis.sce. Initialiser le générateur aléatoire. Puis utiliser initpick pour introduire les valeurs $N=500$, $p_{1}=0.13$, $p_{2}=0.10$ et $p_{3}=0.35$ (vérifier les valeurs introduites en examinant le message affiché dans scilex).

1. Exécuter pickc (le générateur de Walker). Que valent alors les vecteurs gap et aux ?
2. Expliquer comment fonctionne le générateur gen, et montrer qu'il engendre effectivement les nombres $1,2,3,4$ avec les $p_{1},\, p_{2},\, p_{3},\, p_{4}$ comme fréquences théoriques. On pourra utiliser sci2exp(gen) pour disposer d'un affichage commode de la fonction gen.
3. Le programme pickc trace automatiquement l'histogramme des $N=500$ valeurs engendrées. Ajouter le tracé de l'histogramme des fréquences théoriques.
4. La variable lesx contient les valeurs engendrées. Déterminer combien de fois les valeurs $1,\,2,\,3,\,4$ ont été obtenues expérimentalement. Utiliser un test du $\chi^{2}$ pour comparer avec les valeurs théoriques.

2 Test de Student-Fischer

On considère à nouveau la variable aléatoire $X\in\left\{ 1,\,2,\,3,\,4\right\}$, distribuée selon les probabilités $Pr\left( X=i \right) =p_{i}$ de la question précédente.

1. Déterminer l'espérance et la variance de $X$.
2. Déterminer l'intervalle de confiance (pour un risque de $5\%$, puis de $1\%$) de la moyenne correspondant à un échantillon de taille $N=500$. Comparer avec la moyenne de l'échantillon déjà obtenu ($N=500$).
3. Simuler en outre un échantillon de taille $N=11$ et calculer sa moyenne, et donner les intervalles de confiance correspondants (pour un risque de $5\%$, puis de $1\%$).

3 Echantillonage

On considère à nouveau la variable aléatoire $X\in\left\{ 1,\,2,\,3,\,4\right\}$, distribuée selon les probabilités $Pr\left( X=i \right) =p_{i}$ de la question précédente.

1. Déterminer la valeur de la quantité $M^{4}$ du théorème 1.2.11 (http://www.douillet.info/~douillet/cours/decis/node2.html).
2. Obtenir l'intervalle de confiance autour de la variance (pour un risque de $5\%$, puis de $1\%$).
3. Comparer avec la valeur expérimentale obtenue dans la première partie.

4 Exercice 1.3.11

Traiter l'exercice 1.3.11 du polycopié
http://www.douillet.info/~douillet/cours/decis/node2.html.