Ensait - E2 - Aide à la décision

Date: Évaluation du 2008-11-18 (08h00)

durée 2h, tous documents autorisés
login: anselme ; passwd maribor

Rappel des consignes

1. La première qualité que l'on attend d'un ingénieur est de savoir présenter ses conclusions. Les listings, les calculs, les graphiques et autres "sorties d'ordinateur" ne peuvent en aucun cas remplacer un relevé de conclusions, rédigé de façon précise et scientifique.
2. Ces différents types de matériaux doivent être ordonnés de façon à produire un document organisé, fournissant une liste de réponses argumentées à la liste des questions de l'énoncé.
3. La méthode RECOMMANDÉE est de rédiger les réponses à la main et de faire des couper-coller avec des ciseaux et de la colle pour insérer les "sorties d'ordinateur" sur votre copie. L'expérience confirme que cette méthode est à la fois la plus rapide et la plus robuste. C'est aussi celle qui permet de se concentrer sur les compétences évaluées et non sur les compétences/incompétences en dactylographie.
4. Un minimum de rigueur orthographique et grammaticale est attendu. Il sera considéré qu'un étudiant incapable de comprendre la grammaire élémentaire n'est probablement pas capable de comprendre des notions d'un niveau ingénieur.
5. Les copies sont évaluées en proportion de leur contenu et pas en fonction de leur poids. Dans cet ordre d'idées, il est demandé d'imprimer les procédures que vous avez modifiées (i.e dont vous êtes co-auteur) et pas la totalité des bibliothèques (decis=05, waits=20) mises à votre disposition.
6. Chaque simulation doivent être initialisées avec la valeur ddmmyy où dd/mm/19yy est votre date de naissance.
7. Enfin, l'attention des étudiants est attirée sur le fait que le trafic réseau de leur ordinateur est susceptible d'être enregistré pendant la durée de l'évaluation.

1 Algorithme de Walker

On s'intéresse au générateur à quatre choix décrit dans decis.sce. Utiliser initpick pour introduire les valeurs $N=600$, $p_{1}=0.24$, $p_{2}=0.27$ et $p_{3}=0.21$. Ne pas oublier d'initialiser le générateur aléatoire. Vérifier les valeurs introduites en examinant le message affiché dans scilex.

1. Exécuter pickc (le générateur de Walker). Que valent alors les vecteurs gap et alt ?
2. Expliquer comment fonctionne le générateur gen, et montrer qu'il engendre effectivement les nombres $1,2,3,4$ avec les $p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$ comme fréquences théoriques. On pourra utiliser sci2exp(gen) pour disposer d'un affichage commode de la fonction gen.
3. Le programme pickc trace automatiquement l'histogramme des $N=600$ valeurs engendrées. Ajouter le tracé de l'histogramme des fréquences théoriques. .../...
4. La variable lesx contient les valeurs engendrées. Déterminer combien de fois les valeurs $1, 2, 3, 4$ ont été obtenues expérimentalement. Utiliser un test du $\chi^{2}$ pour comparer avec les valeurs théoriques.

2 Test de Student-Fischer

On considère à nouveau la variable aléatoire $X\in\left\{ 1, 2, 3, 4\right\}$ avec $Pr\left( X=i \right) =p_{i}$.

1. Déterminer l'espérance et la variance de $X$. Déterminer la quantité $M^{4}=\mathrm{E}\left(\left(X-\mathrm{E}\left(X\right)\right)^{4}\right)$.
2. Déterminer l'intervalle de confiance (aux risques de $5\%$ puis de $1\%$) de la moyenne correspondant à un échantillon de $N=600$. Comparer avec la valeur expérimentale.
3. Même question avec la variance.

3 File d'attente

On utilise désormais le programme de simulation de files d'attentes décrit dans waits.sce.

3.1 Petit essai

1. Modifier la fonction petitessai de façon à ce que les services soient uniformément répartis dans $\left[18, 28\right]$ et les inter-arrivées uniformément réparties dans $\left[9, 22\right]$. Ne pas oublier de changer la valeur de initseed.
2. Lancer le programme et en commenter le résultat. Ce commentaire s'appuiera sur le chronogramme des événements.

3.2 Simulation M/Ga/1

Utiliser le programme 'système M/Ga/1' avec les réglages $marv=65, msrv=55, a=2.4, N=40000$ et $seed=ddmmyy$. Le processus d'interarrivée $X$ est alors une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ et le processus de service $Y$ est une loi Gamma de paramètres $a$ et $b$ tels que $\mathrm{E}\left(X\right)=marv$ et $\mathrm{E}\left(Y\right)=msrv$.

1. Déterminer le débit d'arrivée $\lambda$ à partir de $marv$ et donner la distribution (pdf) de probabilité associée. Quelle est la variance du processus d'inter-arrivée ?
2. Rappeler quelle est la distribution de probabilité associée à la loi Gamma de paramètres $a$ et $b$. Déterminer la valeur de $b$ en fonction de $a$ et de $msrv$. Quelle est la variance des services ?
3. Rappeler ce qu'est le paramètre $\rho$ et donner sa valeur.
4. Rappeler ce que signifient les graphes "1-Durée des états" et "2-États lors de l'arrivée". Pourquoi sont-ils si ressemblants dans l'exemple étudié ?
5. Le programme affiche diverses moyennes, écart-types et auto-corrélations. Pour ce qui est des services, donner l'intervalle de confiance à $96\%$ concernant la moyenne. Même question pour la variance (on signale que le $M^{4}$ du cours vaut $M^{4}=3a\left(a+2\right)b^{4}$ pour une loi Gamma).
6. Pour ce qui est des services résiduels, considérer le fait que la loi en masse associée à la loi $Gamma\left(a,b\right)$ est à son tour une loi Gamma, de paramètres $a+1, b$ et obtenir les intervalles de confiance correspondants.
7. Quelle serait la durée de séjour moyenne dans une file M/M/1 ayant les mêmes valeurs de $\lambda$ et $\mu$? Expliquer pourquoi la valeur obtenue pour la file M/Ga/1 est inférieure.
8. Comparer le nombre de services résiduels constatés et le nombre de clients entrés dans le système. Expliquer la proportion constatée en la reliant à $\lambda$ et $\mu$.