1.8 Convolution

Definition 1.8   La convolution des fonctions et est une nouvelle fonction notée et définie par .

Example 1.8   Si est la somme de deux variables aléatoires indépendantes et , ayant et pour densités de probabilité, c'est à dire si et , la formule des probabilités totales donne : . On a donc et la loi de la somme est la convolution des lois (pour des variables indépendantes).

Theorem 1.8   L'image Laplace d'une convolution est le produit des images Laplace. Autrement dit :

Preuve. En effet, . Si et sont d'ordre exponentiel et , alors est d'ordre exponentiel et . On remarquera que l'intégrale est prise dans le plan tout entier, les facteurs de Heaviside sélectionnant automatiquement le bon domaine d'intégration. Le changement de variable a pour matrice . Comme , cette intégrale double se transforme en qui se factorise.

Example 1.8   Prenant et , on a
. Passant aux images Laplace, on a .

Example 1.8   Prenant et , on a . Ce qui conduit à . La formule (1.4.2) de dérivation de l'image donne , et la formule (1.8.1) se vérifie.

Example 1.8   L'image Laplace de l'équation différentielle de la section 1.7 conduisait à . On a déjà obtenu avec . D'après ce qui précède, on a , ce qui redonne le résultat déjà obtenu.

Exercice 22   Donner les détails du calcul.