1.10 Un exemple complet

1. On considère la fonction , dont le graphe est donné Figure 1.10.1. Son image Laplace, donnée par la formule des retards, vaut .

   FIG.  1.10.1: Première période du créneau alternatif.

   

2. La fonction obtenue en répétant à l'infini le motif décrit par donne une fonction périodique dont l'image Laplace est .
3. Pour vérifier, calculons l'image Laplace inverse avec Maple. On trouve :  
   invlaplace( , p, t) = 
   .
   Le graphe de cette fonction est donné Figure 1.10.2 à gauche.

   FIG.  1.10.2: Créneau alternatif.

4. Le résultat brut comporte une partie ``étrange'' pour , qu'il convient d'annuler pour la suite des calculs. La description exacte de la fonction est , dont le graphe est donné Figure 1.10.2 à droite.
5. Considérons maintenant l'équation différentielle
   
   Son image Laplace est . En remplaçant par sa valeur, on trouve
   

6. Introduisons la fonction définie par . Nous savons calculer la fonction à partir de son image Laplace. On a
   
   Nous définissons donc trois nouvelles fonctions auxiliaires par , et .
7. Une décomposition en éléments simples donne , d'où
   

8. Une décomposition en éléments simples donne , et par décalage dans le temps,
   
   De même,
   

9. Le graphe de la fonction est donné Figure 1.10.3 à gauche. Cette fonction présente un saut de et et un saut de en . Par conséquent, la fonction définie par est continue en et en tout en présentant un saut de en . Enfin, la fonction définie par est continue en tout point. Il est aisé de montrer qu'elle est en fait dérivable en tout point, la dérivée étant elle même dérivable, sauf aux multiples de .

   FIG.  1.10.3: Les fonctions et .

10. Une autre méthode pour résoudre l'équation proposée serait de trouver solution de sur en partant de la condition initiale. Puis de trouver solution de sur en partant de et de , et ainsi de suite. On obtient les valeurs raccords suivantes :
    

11. On peut obtenir la partie périodique de la façon suivante. On part d'une condition initiale inconnue, décrite par et on résout l'équation sur . On trouve :
    . On résout alors sur à partir de la condition intermédiaire. On trouve :
    .
12. On détermine par les relations et . Il vient :
    
    
    soit .
13. Appelons la fonction obtenue en mettant et bout à bout, soit . La fonction , obtenue en répétant , soit est alors une fonction périodique, et c'est la partie permanente de la réponse du système décrit par l'équation différentielle sous l'action de l'excitation . La Figure 1.10.4 donne les graphes de (à gauche) et de (à droite).

    FIG.  1.10.4: Les fonctions et .

14. On conclut en vérifiant, Figure 1.10.5, que le graphe de vient s'écraser sur celui de , montrant que est le régime permanent associé à .

    FIG.  1.10.5: Évolution d'une solution non stationnaire.