2.1 Idée générale

Notation 2.1   Une suite est une fonction . Il est stupide, et néanmoins usuel, d'utiliser la notation pour désigner une telle suite. Il est encore plus stupide (et encore plus usuel) d'utiliser la notation .

Definition 2.1   Soit une suite dont les valeurs appartiennent à un même espace vectoriel. On dit que la série engendre la suite lorsque :

(american: z-transform).

Proposition 2.1   Une série génératrice converge au moins en . Si elle ne converge pas sur tout entier, il existe un nombre tel que converge pour tout tel que et diverge pour tout tel que .

Definition 2.1   Ce nombre s'appelle le rayon de convergence de la série (si converge pour tout , on pose ).

Definition 2.1   Dans le cas , on parle de série formelle.

Theorem 2.1   A l'intérieur de son disque de convergence, une série est dérivable terme à terme (et aussi intégrable terme à terme... en étant attentif au choix des constantes d'intégration).

Example 2.1   Considère la série qui engendre la suite . Il est clair que :

Le rayon de convergence de cette série est .

Proposition 2.1   Si la série engendre la suite , alors la série engendre la suite v définie par et . tandis que la série engendre la suite .

Proposition 2.1   Si la série engendre la suite alors la série engendre la suite .

Example 2.1   On considère la série qui engendre la suite . Le critère du thm:dAlembert montre que le rayon de convergence est encore . Et on voit que :

Example 2.1   On considère la série qui engendre la suite . La Proposition 2.1.9 montre que :

Remark 2.1   On peut vérifier tout cela par un développement limité (american : series).