A.1 Convergence : quelques rappels

Definition A.1   Limite. ``Pour ajuster le résultat, il suffit d'ajuster les conditions initiales''. Autrement dit veut dire . Suppose de connaître la limite.

Exercice 28   Redémontrer qu'il y a unicité de la limite... lorsqu'elle existe.

Definition A.1   Critère de Cauchy. Il s'agit de la propriété : .

Exercice 29   Montrer que, sans aucune hypothèse, on a toujours : existence d'une limite implique critère de Cauchy.

Theorem A.1 (Cauchy)   Pour des suites dans des espaces raisonnables, le critère de Cauchy implique l'existence d'une limite. C'est plus compliqué à mettre en oeuvre, mais ne suppose pas de connaître la limite au préalable.

Exercice 30   Bien comprendre le rôle de . Ainsi la suite ne converge pas, même si . Le redémontrer.

Theorem A.1 (d'Alembert)   Si la quantité tend vers une limite avec alors la série converge.

Preuve. Soit . Par définition, la série converge si et seulement si la suite converge. Et donc si et seulement si (critère de Cauchy)  :

On pose . Par convergence de vers , il existe un rang à partir duquel . On a alors

Il suffit alors de prendre assez grand pour voir le reste de Cauchy tendre vers 0 (indépendamment de la valeur de ).