A.2 Convergence d'une suite de fonctions

Definition A.2   convergence simple. Lorsque l'on étudie des suites de fonctions , la convergence simple des vers veut dire que pour chaque , la suite tend vers .

Definition A.2   Définition : convergence uniforme. Lorsque l'on étudie des suites de fonctions , la convergence uniforme des vers veut dire que tend vers 0 lorsque .

Theorem A.2   Si chaque fonction est continue et si la suite converge uniformément vers , alors la fonction est continue.

Theorem A.2   Intégration sur un segment . Si les fonctions sont intégrables sur le même segment , et si la suite converge uniformément vers , alors la fonction est intégrable, et on a .

Exercice 31   Démontrer ce résultat en utilisant le critère de Cauchy.

Definition A.2   Continuité par morceaux sur un intervalle . Par définition, il s'agit d'une fonction qui (1) ne possède qu'un nombre fini de points de discontinuité et qui (2) admet en chaque point une limite à gauche () et une limite à droite ().

Definition A.2   Intégrale d'une fonction positive, continue par morceaux sur un intervalle . Par définition, on pose , la borne supérieure étant prise sur tous les segments contenus dans . La question qui se pose est de savoir si cette borne est ou bien est réelle (finie).

Definition A.2   Fonction absolument intégrable. Cela veut dire que est intégrable.

Exercice 32   Démontrer (Cauchy) que l'intégrabilité de entraîne celle de .