A.3 Comparaison de la Section 1.7 avec la méthode de Lagrange

1. Dans cette méthode, on commence par résoudre l'équation linéaire qui conduit aux solutions indépendantes et . Chacune des solutions de l'équation linéaire peut donc s'écrire et vérifie .
2. Variation des constantes. On cherche alors les solutions de l'équation affine sous la forme . En écrivant que on obtient une première équation :
   
   En reportant et dans l'équation initiale, on obtient, après s'être débarrassé des facteurs et qui sont nuls par définition,
   

3. On obtient donc un système affine en et qui se résout en
   et , conduisant à
   et
   
   Exercice 33   Le déterminant du système donnant et s'appelle le Wronskien du système. Donner son expression. Montrer qu'il ne s'annule jamais.

4. La solution est donc em
   
   
   

5. On remarquera que l'expression précédente n'est pas nulle pour . Par contre, après fixation des constantes par les conditions initiales, la fonction est égale à la fonction trouvée à la section précédente.
   Exercice 34   Donner les détails du calcul.