1.1 Définition et premiers résultats

Definition 1.1 (Laplace)   Laplace. Soit une fonction continue par morceaux définie sur l'intervalle . On appelle transformée de Laplace de cette fonction la nouvelle fonction définie par

L'utilisation de la notation suppose que est choisi de telle sorte que l'intégrale converge.

Definition 1.1   Dire que "la fonction est d'ordre exponentiel à l'infini" signifie qu'il existe un tel que lorsque .

Exercice 1   Montrer que l'on peut toujours supposer que cet est réel (abscisse de convergence).

Theorem 1.1 (existence)   Si la fonction , définie sur est continue par morceaux et d'ordre exponentiel à l'infini, alors son image Laplace est définie pour tout dont la partie réelle est supérieure à (i.e. ).

Theorem 1.1   Si les fonctions et , définies sur sont continues par morceaux et d'ordre exponentiel à l'infini, alors il en est de même pour les combinaisons linéaires de et et l'on a, pour tout choix des constantes la relation

Proposition 1.1 (polynômes)   On a , et plus généralement

Exercice 2   Démontrer ce résultat par récurrence.