1.2 Image de l'exponentielle

Definition 1.2 (exponentielle)   La fonction est définie dans tout entier par . Cette série converge normalement dans toute partie bornée du plan complexe. Un calcul élémentaire montre que .

Exercice 3   Redémontrer cette formule.

Definition 1.2 (sinus et cosinus)   Les coefficients de la série exponentielle étant réels, on a : et donc . Les points viennent se placer sur le cercle trigonométrique . On définit et par : .

Theorem 1.2   Tous les points de peuvent s'écrire , et la fonction est périodique, sa plus petite période étant .

Proposition 1.2   Formule fondamentale pour la transformation de Laplace :

Preuve. (calcul direct). Posons . Supposant , nous procédons au changement de variable . On a donc et . On utilise alors pour conclure.

Preuve. (interprétation). On a et . D'après ce qui précède, . Supposons , soit si l'on pose . On a alors . Il se trouve que .

Exercice 4   Justifier l'interversion entre et dans la formule ci-dessus.

Proposition 1.2   Formule générale. Pour tout et tout tel que , on a :

Formule des sinus et cosinus. On a

Exercice 5   Détailler le calcul à partir de la formule d'Euler :