1.3 Décalage temporel

Definition 1.3   décalage temporel. Partons de la fonction , c'est à dire de la fonction , correspondant à la Figure 1.0.1. La Figure 1.3.1 montre ce qu'il convient d'entendre par décalage temporel à gauche (avance) et par décalage temporel à droite (retard). On constate que ces deux opérations ne sont pas réciproques l'une de l'autre.

FIG.  1.3.1: Les deux sortes de décalage ne commutent pas.

[Avance]

[Retard]

Definition 1.3   On appelle fonction de Heaviside la fonction valant pour et 0 pour . La transformation "avance" d'une fonction s'écrit alors , tandis que sa retardée est .

Exercice 6   Calculer l'image Laplace de la fonction .

Proposition 1.3 (Formule des retards)   Soit une fonction objet, et la fonction obtenue par la transformation avec . Autrement dit, est en retard sur . On a alors :

Preuve. Par définition de la transformée de Laplace, on a :

En posant , il vient . En effet, la contribution de l'intervalle est nulle à cause du facteur .

Exercice 7   Calculer l'image Laplace de la fonction . Comparer avec la retardée de la fonction .

Proposition 1.3 (Formule des translations)   Pour , on a la formule

Exercice 8   Démontrer la formule ci-dessus.

Exercice 9   Utiliser cette formule pour retrouver l'image Laplace de sinus et cosinus.

Proposition 1.3 (Formule des dilatations)   Changement de l'unité de temps : pour , on a :