1.4 Dérivation

Theorem 1.4 (objet)   Pour toute fonction ayant une dérivée continue par morceaux :

Preuve. Pour , on a . Mais aussi et donc . Par linéarité, la formule s'applique à tout polynôme.

Exercice 10   Utiliser une intégration par parties et obtenir la preuve du cas général.

Proposition 1.4   Exemples élémentaires.

• []. D'où .
• []. D'où .
• []. D'où .

Exercice 11   Donner la formule de la dérivée seconde. La vérifier sur ces trois exemples.

Theorem 1.4 (image)   Pour toute fonction continue par morceaux

Preuve. , on a . Donc . Par linéarité, la formule s'applique à tout polynôme.

Exercice 12   Utiliser une intégration par parties et obtenir la preuve du cas général.

Theorem 1.4   L'image Laplace d'une fonction continue par morceaux est holomorphe sur

Exercice 13   Utiliser (1.4.2) pour démontrer ce théorème. Expliquer pourquoi (1.4.1) n'implique pas que soit indéfiniment dérivable.

Proposition 1.4   Si la quantité admet une limite finie pour , on a alors

Exercice 14   Démontrer ce résultat et expliquer pourquoi l'intégrale part de .

Exercice 15   Quelle est l'image Laplace de ?

Example 1.4   De , on tire . On en déduit . Évaluée en , cette formule donne .